Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Se ha hecho un estudio de un famoso jugador de baloncesto de la ACB y se sabe que tiene una probabilidad de encestar un triple del 60 %. Si realiza 8 tiros a canasta:

a) Calcule la probabilidad de que enceste 5 triples. [0,75 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que enceste al menos 2. [0,75 puntos]

c) Determine la media y la desviación típica de la distribución. [0,5 puntos]

Sea $X$ el número de triples que encesta en los ocho tiros. Cada tiro tiene solo dos resultados posibles, la probabilidad de encestar es la misma en todos y unos no influyen en otros, luego se trata de una distribución binomial.

$X\sim B(n,p)=B(8;\mathrm{0,6})$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{enceste}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{triples.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos la función de probabilidad de la binomial con $k=5$.

$P(X=5)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{5}\right)(\mathrm{0,6}{)}^5(\mathrm{0,4}{)}^3=56\cdot \mathrm{0,07776}\cdot \mathrm{0,064}=\mathrm{0,2787}$

La probabilidad de que enceste exactamente cinco triples es $\mathrm{0,2787}$, es decir, un $\mathrm{27,87}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{enceste}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Encestar al menos dos obligaría a sumar siete términos, así que pasamos al suceso contrario, que solo tiene dos.

$P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$

$P(X=0)=(\mathrm{0,4}{)}^8=\mathrm{0,00066}$

$P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{8}{1}\right)(\mathrm{0,6})(\mathrm{0,4}{)}^7=8\cdot \mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,0016384}=\mathrm{0,00786}$

$P(X\ge 2)=1-\mathrm{0,00066}-\mathrm{0,00786}=\mathrm{0,9915}$

La probabilidad de que enceste al menos dos triples es $\mathrm{0,9915}$, es decir, un $\mathrm{99,15}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos las fórmulas de la media y de la desviación típica de una binomial.

$\mu =np=8\cdot \mathrm{0,6}=\mathrm{4,8}$

$\sigma =\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{8\cdot \mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,4}}=\sqrt{\mathrm{1,92}}\approx \mathrm{1,3856}$

El jugador encesta, por término medio, $\mathrm{4,8}$ triples de cada ocho tiros, con una desviación típica de $\mathrm{1,3856}$ triples.