Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

La probabilidad de que un jugador de golf haga hoyo en un lanzamiento a cierta distancia es de 0,4. Si realiza 5 lanzamientos, calcule:

a) La probabilidad de que no haga ningún hoyo. [0,75 puntos]

b) La probabilidad de hacer como mucho 2 hoyos. [0,75 puntos]

c) El número medio de hoyos. [0,5 puntos]

Sea $X$ el número de hoyos que consigue el jugador en los cinco lanzamientos. Cada lanzamiento tiene solo dos resultados posibles, la probabilidad de acertar es la misma en todos y unos no influyen en otros, luego se trata de una distribución binomial.

$X\sim B(n,p)=B(5;\mathrm{0,4})$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{haga}}\mathbf{\text{ning}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{hoyo.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos la función de probabilidad de la binomial con $k=0$.

$P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{0}\right)(\mathrm{0,4}{)}^0(\mathrm{0,6}{)}^5=(\mathrm{0,6}{)}^5=\mathrm{0,0778}$

La probabilidad de que no haga ningún hoyo es $\mathrm{0,0778}$, es decir, un $\mathrm{7,78}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{mucho}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{hoyos.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Hacer como mucho dos hoyos significa hacer cero, uno o dos, y como son sucesos incompatibles sus probabilidades se suman.

$P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

$P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{1}\right)(\mathrm{0,4}{)}^1(\mathrm{0,6}{)}^4=5\cdot \mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,1296}=\mathrm{0,2592}$

$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{2}\right)(\mathrm{0,4}{)}^2(\mathrm{0,6}{)}^3=10\cdot \mathrm{0,16}\cdot \mathrm{0,216}=\mathrm{0,3456}$

$P(X\le 2)=\mathrm{0,0778}+\mathrm{0,2592}+\mathrm{0,3456}=\mathrm{0,6826}$

La probabilidad de hacer como mucho dos hoyos es $\mathrm{0,6826}$, es decir, un $\mathrm{68,26}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hoyos.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La media de una distribución binomial es el producto de sus dos parámetros.

$\mu =np=5\cdot \mathrm{0,4}=2$

El número medio de hoyos es de $2$ por cada cinco lanzamientos.