Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Con el objetivo de llevar a cabo el proceso de control de calidad de las arandelas, estas se organizan en lotes de 20 arandelas. Si la probabilidad de que una arandela sea defectuosa es de 0,01 y considerando independencia de sucesos:

a) Determine si la probabilidad de encontrar en un lote 1 o 2 arandelas defectuosas es mayor del 20 %. [1,25 puntos]

b) Si un lote se rechaza cuando se encuentra al menos una arandela defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de rechazar el lote? [0,75 puntos]

c) ¿Cuál es el número esperado de arandelas sin defectos si el lote fuera de 200 arandelas? [0,5 puntos]

Llamamos $X$ al número de arandelas defectuosas de un lote. Cada arandela lo es o no lo es, con la misma probabilidad y con independencia de las demás, de modo que $X$ sigue una distribución binomial de parámetro

$p=\mathrm{0,01},q=1-p=\mathrm{0,99}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{encontrar}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{lote}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{arandelas}}\mathbf{\text{defectuosas}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{\%.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

$X\sim B(20;\mathrm{0,01})$

Con solo 20 pruebas y una probabilidad tan pequeña no procede aproximar por una normal —de hecho $np=\mathrm{0,2}<5$—: se aplica directamente la fórmula de la binomial. Los dos sucesos son incompatibles, así que sus probabilidades se suman.

$P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{1}\right){\mathrm{0,01}}^1\cdot {\mathrm{0,99}}^{19}=20\cdot \mathrm{0,01}\cdot \mathrm{0,8262}\approx \mathrm{0,1652}$

$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{2}\right){\mathrm{0,01}}^2\cdot {\mathrm{0,99}}^{18}=190\cdot \mathrm{0,0001}\cdot \mathrm{0,8345}\approx \mathrm{0,0159}$

$P(X=1)+P(X=2)=\mathrm{0,1652}+\mathrm{0,0159}=\mathrm{0,1811}$

La probabilidad de encontrar 1 o 2 arandelas defectuosas en un lote es del $\mathrm{18,11}\mathrm{\%}$, que no llega al $20\mathrm{\%}$: la respuesta es negativa.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{lote}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{rechaza}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encuentra}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{arandela}}\mathbf{\text{defectuosa,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rechazar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{lote?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Que haya al menos una defectuosa reúne veinte valores distintos de la variable, así que sale mucho más corto pasar al suceso contrario: que no haya ninguna.

$P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{20}{0}\right){\mathrm{0,01}}^0\cdot {\mathrm{0,99}}^{20}={\mathrm{0,99}}^{20}\approx \mathrm{0,8179}$

$P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-\mathrm{0,8179}=\mathrm{0,1821}$

La probabilidad de rechazar un lote es $\mathrm{0,1821}$, es decir, un $\mathrm{18,21}\mathrm{\%}$: se rechaza aproximadamente uno de cada cinco lotes.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{esperado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{arandelas}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{defectos}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{lote}}\mathbf{\text{fuera}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{200}}\mathbf{\text{arandelas?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora el suceso que interesa es el contrario, cuya probabilidad es $q=\mathrm{0,99}$, y el número esperado de éxitos de una binomial es el producto del número de pruebas por esa probabilidad.

$\mu =nq=200\cdot \mathrm{0,99}=198$

En un lote de 200 arandelas cabe esperar que 198 salgan sin defectos.