Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

Cuestión 7.

Una urna contiene cinco bolas negras, numeradas del 1 al 5, y siete bolas blancas, numeradas del 1 al 7. Se saca de la urna una bola al azar. Calcule:

a) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola sea blanca.

b) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola este numerada con un número par.

c) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola este numerada con un número par, sabiendo que es una bola blanca.

d) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola sea blanca y este numerada con un número par.

e) [0,5 p.] La probabilidad de que la bola sea blanca, sabiendo que esta numerada con un número par.

La urna tiene 5 bolas negras numeradas del 1 al 5 y 7 blancas numeradas del 1 al 7, en total doce bolas equiprobables. Conviene contar antes cuántas llevan número par: entre las negras están la 2 y la 4, y entre las blancas la 2, la 4 y la 6.

$\text{Negras pares: }2;\text{Blancas pares: }3;\text{Pares en total: }5$



Llamamos $B$ al suceso "la bola es blanca" y $P$ a "la bola lleva un número par".

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{blanca.}}$

Aplicamos la regla de Laplace sobre el total de bolas.

$P(B)={\displaystyle \frac{7}{12}}\approx \mathrm{0,5833}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{numerada}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{par.}}$

Hay cinco bolas con número par sobre las doce de la urna.

$P(P)={\displaystyle \frac{5}{12}}\approx \mathrm{0,4167}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{numerada}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{par,}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{blanca.}}$

Saber que la bola es blanca restringe el espacio muestral a las siete blancas, de las que tres llevan número par.

$P(P\mid B)={\displaystyle \frac{3}{7}}\approx \mathrm{0,4286}$

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{blanca}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{numerada}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{par.}}$

Ahora no hay condición: contamos las tres bolas que cumplen las dos cosas sobre las doce.

$P(B\cap P)={\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}=\mathrm{0,25}$

Lo comprobamos con la regla del producto sobre la rama correspondiente del árbol: ${\displaystyle \frac{7}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{7}}={\displaystyle \frac{3}{12}}$.

$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{blanca,}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{numerada}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{par.}}$

Aplicamos la definición de probabilidad condicionada con los dos resultados anteriores.

$P(B\mid P)={\displaystyle \frac{P(B\cap P)}{P(P)}}={\displaystyle \frac{3\mathrm{/}12}{5\mathrm{/}12}}={\displaystyle \frac{3}{5}}=\mathrm{0,6}$

De las cinco bolas pares, tres son blancas: la probabilidad pedida es $\mathrm{0,6}$.