Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Cuestión 1.

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $a$:
$\{\begin{array}{l}x+ay-z=0\\ 2x+y+az=0\\ x+5y-az=a+1\end{array}$

a) [0,75 p.] Determine para que valores de $a$ el sistema tiene solución única.

b) [1 p.] Determine para que valor de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuelvalo en ese caso.

c) [0,75 p.] Determine para que valor de $a$ el sistema no tiene solución.

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, y para ello empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& a& -1\\ 2& 1& a\\ 1& 5& -a\end{array}\mid =3a^2-6a-9=3(a-3)(a+1)$

$3(a-3)(a+1)=0\Rightarrow a=3\text{ o }a=-1$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica.}}$

Mientras el determinante no se anule, el rango de la matriz de coeficientes es tres y el de la ampliada no puede ser mayor.

$a\mathrm{\ne }3\text{ y }a\mathrm{\ne }-1\Rightarrow \text{ rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible determinado, con solución única, para todo valor de $a$ distinto de 3 y de $-1$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{infinitas}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{caso.}}$

Tomamos el primero de los dos valores críticos. Para $a=-1$ el término independiente de la tercera ecuación se anula y el sistema queda homogéneo, de modo que la columna de términos independientes no aporta rango.

$\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\mid =3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \text{ rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=2<3$

El sistema es compatible indeterminado. Nos quedamos con las dos ecuaciones del menor no nulo y pasamos $z$ al segundo miembro:

$\{\begin{array}{l}x-y=z\\ 2x+y=z\end{array}$

Sumando ambas eliminamos $y$:

$3x=2z\Rightarrow x={\displaystyle \frac{2z}{3}},y=x-z=-{\displaystyle \frac{z}{3}}$

Para evitar fracciones tomamos $z=3\lambda$. Las soluciones son los infinitos puntos de la recta $(2\lambda ,-\lambda ,3\lambda )$, con $\lambda$ real.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Queda el otro valor crítico. Para $a=3$ la matriz ampliada es

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 3& -1& 0\\ 2& 1& 3& 0\\ 1& 5& -3& 4\end{array}\right)$

$\mid \begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 1\end{array}\mid =-5\mathrm{\ne }0\Rightarrow \text{ rg}(A)=2$

Orlamos con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 3& 0\\ 2& 1& 0\\ 1& 5& 4\end{array}\mid =4\cdot (-5)=-20\mathrm{\ne }0\Rightarrow \text{ rg}(A^{\ast })=3$

Los rangos no coinciden, así que para $a=3$ el sistema es incompatible y no tiene solución.