Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Pregunta 1: Sentido numérico y algebraico (2 puntos)

Darío y Cayetana están organizando un pequeño negocio y deciden invertir dinero en tres cosas: $x$ miles de euros en publicidad, $y$ miles de euros en materiales y $z$ miles de euros en logística. El reparto depende de un parámetro positivo, $k$, que representa una estrategia de ajuste económico según la situación del mercado. Se sabe que la suma de todo lo invertido es en total 12 mil euros. Darío propone que la inversión en publicidad más el doble de la inversión en materiales sea igual a la inversión en logística más $k$. Cayetana quiere que el doble de la inversión en publicidad menos la inversión en materiales más la inversión en logística sea igual a 4 mil euros.

a) (0,75 ptos.) Plantee un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas que refleje los datos del problema.

b) (1,25 ptos.) Discuta el correspondiente sistema. En caso de existir solución única, encuéntrela y exprésela en función de $k$ si es necesario.

Llamamos $x$, $y$ y $z$ a los miles de euros invertidos en publicidad, materiales y logística, respectivamente.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{ptos.)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{inc}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{gnitas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{refleje}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{datos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{problema.}}$

Traducimos al lenguaje algebraico cada una de las tres condiciones del enunciado, una por ecuación.

La inversión total asciende a 12 mil euros:

$x+y+z=12$

La propuesta de Darío dice que la publicidad más el doble de los materiales iguala a la logística más $k$:

$x+2y=z+k\Rightarrow x+2y-z=k$

La de Cayetana, que el doble de la publicidad menos los materiales más la logística son 4 mil euros:

$2x-y+z=4$

El sistema que recoge los datos del problema es, por tanto:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=12\\ x+2y-z=k\\ 2x-y+z=4\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{ptos.)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{sistema.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{existir}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica,}}\mathbf{\text{encu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ntrela}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{expr}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sela}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathit{k}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{necesario.}}$

Para discutirlo aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, y para ello lo primero es el determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& -1\\ 2& -1& 1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 12\\ 1& 2& -1& k\\ 2& -1& 1& 4\end{array}\right)$

Desarrollamos por la primera fila:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\cdot \mid \begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\mid -1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\mid +1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 2& -1\end{array}\mid$

$=(2-1)-(1+2)+(-1-4)=1-3-5=-7$

Como $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-7\mathrm{\ne }0$ para cualquier valor de $k$ (el parámetro solo aparece en la columna de términos independientes), se tiene $\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$ y el sistema es compatible determinado sea cual sea $k$.

Al ser el determinante no nulo podemos resolverlo por la regla de Cramer, sustituyendo en cada caso la columna correspondiente por los términos independientes.

$x={\displaystyle \frac{1}{-7}}\mid \begin{array}{ccc}12& 1& 1\\ k& 2& -1\\ 4& -1& 1\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{-2k}{-7}}={\displaystyle \frac{2k}{7}}$

$y={\displaystyle \frac{1}{-7}}\mid \begin{array}{ccc}1& 12& 1\\ 1& k& -1\\ 2& 4& 1\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{-k-28}{-7}}={\displaystyle \frac{k+28}{7}}$

$z={\displaystyle \frac{1}{-7}}\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 12\\ 1& 2& k\\ 2& -1& 4\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{3k-56}{-7}}={\displaystyle \frac{56-3k}{7}}$

Comprobamos el resultado en la primera ecuación, que es la que no hemos usado para despejar:

$x+y+z={\displaystyle \frac{2k+(k+28)+(56-3k)}{7}}={\displaystyle \frac{84}{7}}=12$

El reparto es único para todo valor del parámetro: se invierten ${\displaystyle \frac{2k}{7}}$ miles de euros en publicidad, ${\displaystyle \frac{k+28}{7}}$ en materiales y ${\displaystyle \frac{56-3k}{7}}$ en logística. Como las tres cantidades han de ser positivas, el modelo solo tiene sentido económico si $k<{\displaystyle \frac{56}{3}}$.