Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Pregunta 1.1. (2,5 puntos) En el baloncesto existen canastas que valen un punto, otras que valen dos y otras que valen tres puntos. Calcule el número de lanzamientos de uno, de dos y de tres puntos que realizó un equipo en un partido sabiendo que:

a) El equipo anotó $80$ puntos con un acierto del $80\mathrm{\%}$ en tiros de uno, del $50\mathrm{\%}$ en tiros de dos y del $40\mathrm{\%}$ en tiros de tres.

b) La tercera parte del número de lanzamientos de dos fue igual a la quinta parte del resto de lanzamientos.

c) El doble del número de lanzamientos de tres es menor en cinco unidades al resto de lanzamientos.

$\mathbf{\text{Pregunta}}\mathbf{\text{1.1.}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lanzamientos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{uno,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{realiz}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{equipo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{partido.}}$

Llamamos $x$ al número de lanzamientos de un punto, $y$ al de dos e $z$ al de tres, y traducimos a ecuaciones las tres condiciones del enunciado.

De los $x$ tiros de uno entra el 80 %, de los $y$ de dos el 50 % y de los $z$ de tres el 40 %; cada canasta suma su valor y el total es de 80 puntos.

$1\cdot \mathrm{0,8}x+2\cdot \mathrm{0,5}y+3\cdot \mathrm{0,4}z=80\Rightarrow 4x+5y+6z=400$

En la segunda condición «el resto de lanzamientos» son los de uno y los de tres.

${\displaystyle \frac{y}{3}}={\displaystyle \frac{x+z}{5}}\Rightarrow 3x-5y+3z=0$

En la tercera, «el resto» son los de uno y los de dos.

$2z=(x+y)-5\Rightarrow x+y-2z=5$

Queda un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

$\{\begin{array}{l}4x+5y+6z=400\\ 3x-5y+3z=0\\ x+y-2z=5\end{array}$

Lo resolvemos por sustitución, despejando $x$ de la tercera ecuación.

$x=5-y+2z$

$3(5-y+2z)-5y+3z=0\Rightarrow 15-8y+9z=0\Rightarrow y={\displaystyle \frac{15+9z}{8}}$

$4(5-y+2z)+5y+6z=400\Rightarrow y+14z=380$

Sustituimos la expresión de $y$ en esta última igualdad.

${\displaystyle \frac{15+9z}{8}}+14z=380\Rightarrow 121z=3025\Rightarrow z=25$

$y={\displaystyle \frac{15+9\cdot 25}{8}}=30,x=5-30+50=25$

Comprobamos la primera condición, que es la que más operaciones lleva: entran $\mathrm{0,8}\cdot 25=20$ tiros libres, $\mathrm{0,5}\cdot 30=15$ dobles y $\mathrm{0,4}\cdot 25=10$ triples, o sea $20+30+30=80$ puntos.

El equipo lanzó 25 tiros de un punto, 30 de dos y 25 de tres.