Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones siguiente:

$\begin{array}{r}4x+2y-z=4\\ x-y+kz=3\\ 3x+3y=1\end{array}\}$

donde $k$ es un parámetro real.
a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $k$, y resuélvalo para $k=0$. [1 punto]
b) Resuelva el sistema para $k=-1$. [0,75 puntos]
c) Para $k=-1$, modifique la tercera ecuación de manera que el sistema resulte incompatible. Justifique la respuesta. [0,75 puntos]

Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^{\ast }$, y discutimos el sistema comparando sus rangos con el número de incógnitas (teorema de Rouché-Frobenius).

$A=\left(\begin{array}{ccc}4& 2& -1\\ 1& -1& k\\ 3& 3& 0\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}4& 2& -1& 4\\ 1& -1& k& 3\\ 3& 3& 0& 1\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}4& 2& -1\\ 1& -1& k\\ 3& 3& 0\end{array}\mid =0+6k-3-(3+12k+0)=-6k-6=-6(k+1)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow -6(k+1)=0\Rightarrow k=-1$

Si $k\mathrm{\ne }-1$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}\Rightarrow \text{sistema compatible determinado.}$

Si $k=-1$, sabemos que $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo:

$\mid \begin{array}{cc}4& 2\\ 1& -1\end{array}\mid =-4-2=-6\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes para estudiar el rango de $A^{\ast }$:

$\mid \begin{array}{ccc}4& 2& 4\\ 1& -1& 3\\ 3& 3& 1\end{array}\mid =-4+18+12-(-12+36+2)=26-26=0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=2$

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado.}$

Para $k=0$ el sistema es compatible determinado, con $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-6$, y lo resolvemos por la regla de Cramer.

$x={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}4& 2& -1\\ 3& -1& 0\\ 1& 3& 0\end{array}\mid }{-6}}={\displaystyle \frac{-1\cdot \mid \begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 3\end{array}\mid }{-6}}={\displaystyle \frac{-10}{-6}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$

$y={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}4& 4& -1\\ 1& 3& 0\\ 3& 1& 0\end{array}\mid }{-6}}={\displaystyle \frac{-1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& 3\\ 3& 1\end{array}\mid }{-6}}={\displaystyle \frac{8}{-6}}=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$

$z={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}4& 2& 4\\ 1& -1& 3\\ 3& 3& 1\end{array}\mid }{-6}}={\displaystyle \frac{0}{-6}}=0$

El sistema es compatible determinado para $k\mathrm{\ne }-1$ y compatible indeterminado para $k=-1$. Para $k=0$ la solución única es $x=\frac{5}{3},y=-\frac{4}{3},z=0$.



Por el apartado anterior, para $k=-1$ el sistema es compatible indeterminado con $\mathrm{ran}(A)=2$: sobra una ecuación y queda un grado de libertad. Nos quedamos con las dos primeras ecuaciones, que son las del menor no nulo, y pasamos $z$ al segundo miembro.

$\{\begin{array}{l}4x+2y-z=4\\ x-y-z=3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}4x+2y=4+z\\ x-y=3+z\end{array}$

$x=3+z+y$

$4(3+z+y)+2y=4+z\Rightarrow 12+4z+6y=4+z\Rightarrow 6y=-8-3z\Rightarrow y={\displaystyle \frac{-8-3z}{6}}$

Llamando $z=2\lambda$ se obtienen expresiones sin denominadores:

$y={\displaystyle \frac{-8-6\lambda }{6}}=-{\displaystyle \frac{4}{3}}-\lambda ,x=3+2\lambda -{\displaystyle \frac{4}{3}}-\lambda ={\displaystyle \frac{5}{3}}+\lambda$

$\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{5}{3}}+\lambda \\ y=-{\displaystyle \frac{4}{3}}-\lambda \\ z=2\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

Para $k=-1$ el sistema tiene infinitas soluciones, que dependen de un parámetro: $(\frac{5}{3}+\lambda ,-\frac{4}{3}-\lambda ,2\lambda )$ con $\lambda \in \mathbb{R}$. Para $\lambda =0$ se recupera la solución $(\frac{5}{3},-\frac{4}{3},0)$.



Para que el sistema sea incompatible hace falta que $\mathrm{ran}(A)<\mathrm{ran}(A^{\ast })$. Observemos por qué ahora no ocurre: con $k=-1$, la tercera fila de $A$ es la diferencia de las dos primeras,

$(4,2,-1)-(1,-1,-1)=(3,3,0)$

y esa misma combinación se cumple en los términos independientes, $4-3=1$. Basta, por tanto, dejar los coeficientes como están y cambiar el término independiente: la fila de coeficientes seguirá siendo combinación lineal de las otras dos, pero la de $A^{\ast }$ ya no lo será. Sustituimos la tercera ecuación por

$3x+3y=0$

Comprobémoslo. La matriz de coeficientes no ha cambiado, luego $\mathrm{ran}(A)=2$. En la ampliada:

$\mid \begin{array}{ccc}4& 2& 4\\ 1& -1& 3\\ 3& 3& 0\end{array}\mid =0+18+12-(-12+36+0)=30-24=6\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=3$

$\mathrm{ran}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(A^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible.}$

Cambiando la tercera ecuación por $3x+3y=0$ el sistema resulta incompatible; de hecho vale cualquier término independiente distinto de 1, porque el valor 1 es el único compatible con las dos primeras ecuaciones.