Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real $k$:

$\{\begin{array}{l}x+ky+z=3+k\\ kx+y+z=4\\ x+3y+z=5\end{array}$

a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $k$. [1,25 puntos]
b) Resuelva el sistema para el caso $k=2$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{diferentes}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{k}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& k& 1\\ k& 1& 1\\ 1& 3& 1\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& k& 1& 3+k\\ k& 1& 1& 4\\ 1& 3& 1& 5\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1+k+3k-(1+3+k^2)=4k-k^2-3$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow k^2-4k+3=0\Rightarrow k={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}}={\displaystyle \frac{4\pm 2}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}k=3\\ k=1\end{array}$

Si $k\mathrm{\ne }1$ y $k\mathrm{\ne }3$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}\Rightarrow \text{sistema compatible determinado.}$

Si $k=1$:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 4\\ 1& 1& 1& 4\\ 1& 3& 1& 5\end{array}\right)$

Las dos primeras filas son idénticas, término independiente incluido, así que la segunda ecuación es superflua.

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 3\end{array}\mid =3-1=2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3$

$\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado.}$

Si $k=3$:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 6\\ 3& 1& 1& 4\\ 1& 3& 1& 5\end{array}\right)$

Ahora las filas primera y tercera tienen los mismos coeficientes pero distinto término independiente, 6 y 5: las dos ecuaciones se contradicen.

$\mid \begin{array}{cc}1& 3\\ 3& 1\end{array}\mid =1-9=-8\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}1& 3& 6\\ 3& 1& 4\\ 1& 3& 5\end{array}\mid =5+12+54-(6+12+45)=71-63=8\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=3$

$\mathrm{ran}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(A^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible.}$

El sistema es compatible determinado para $k\mathrm{\ne }1$ y $k\mathrm{\ne }3$, compatible indeterminado para $k=1$ e incompatible para $k=3$.



Como $k=2$ no es ninguno de los dos valores conflictivos, el sistema es compatible determinado y tiene solución única. Lo resolvemos por la regla de Cramer.

$\{\begin{array}{l}x+2y+z=5\\ 2x+y+z=4\\ x+3y+z=5\end{array},\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=4\cdot 2-2^2-3=1$

$x={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}5& 2& 1\\ 4& 1& 1\\ 5& 3& 1\end{array}\mid }{1}}=5+10+12-(5+15+8)=27-28=-1$

$y={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}1& 5& 1\\ 2& 4& 1\\ 1& 5& 1\end{array}\mid }{1}}=0$

El determinante de $y$ es nulo porque su primera y su tercera fila son iguales.

$z={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 5\\ 2& 1& 4\\ 1& 3& 5\end{array}\mid }{1}}=5+8+30-(5+12+20)=43-37=6$

Comprobamos la solución en la segunda ecuación: $2\cdot (-1)+0+6=4$.

Para $k=2$ la solución única del sistema es $x=-1$, $y=0$, $z=6$. Geométricamente, los tres planos que forman el sistema se cortan en ese único punto.