Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones lineales siguiente, que depende del parámetro real $k$:

$\{\begin{array}{l}5x+y+4z=19\\ kx+2y+8z=28\\ 5x+y-kz=23+k\end{array}$

a) Discuta el sistema para los diferentes valores del parámetro $k$. [1,25 puntos]
b) Resuelva, si es posible, el sistema para el caso $k=0$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{diferentes}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{k}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 1& 4\\ k& 2& 8\\ 5& 1& -k\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}5& 1& 4& 19\\ k& 2& 8& 28\\ 5& 1& -k& 23+k\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-10k+40+4k-(40+40-k^2)=k^2-6k-40$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow k={\displaystyle \frac{6\pm \sqrt{36+160}}{2}}={\displaystyle \frac{6\pm 14}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}k=10\\ k=-4\end{array}$

Si $k\mathrm{\ne }10$ y $k\mathrm{\ne }-4$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}\Rightarrow \text{sistema compatible determinado.}$

Si $k=10$:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}5& 1& 4& 19\\ 10& 2& 8& 28\\ 5& 1& -10& 33\end{array}\right)$

La segunda fila de $A$ es el doble de la primera, pero en los términos independientes $2\cdot 19=38\mathrm{\ne }28$: las dos primeras ecuaciones se contradicen.

$\mid \begin{array}{cc}5& 4\\ 5& -10\end{array}\mid =-50-20=-70\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}5& 4& 19\\ 10& 8& 28\\ 5& -10& 33\end{array}\mid =1320+560-1900-(760-1400+1320)=-20-680=-700\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{ran}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(A^{\ast })\Rightarrow \text{sistema incompatible.}$

Si $k=-4$:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}5& 1& 4& 19\\ -4& 2& 8& 28\\ 5& 1& 4& 19\end{array}\right)$

Ahora las filas primera y tercera son idénticas, término independiente incluido, así que la tercera ecuación sobra.

$\mid \begin{array}{cc}5& 1\\ -4& 2\end{array}\mid =10+4=14\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3$

$\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado.}$

El sistema es compatible determinado para $k\mathrm{\ne }10$ y $k\mathrm{\ne }-4$, incompatible para $k=10$ y compatible indeterminado para $k=-4$.



Para $k=0$ el sistema es compatible determinado, con

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0^2-6\cdot 0-40=-40$

$\{\begin{array}{l}5x+y+4z=19\\ 2y+8z=28\\ 5x+y=23\end{array}$

Lo resolvemos por la regla de Cramer.

$x={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}19& 1& 4\\ 28& 2& 8\\ 23& 1& 0\end{array}\mid }{-40}}={\displaystyle \frac{0+184+112-(184+152+0)}{-40}}={\displaystyle \frac{-40}{-40}}=1$

$y={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}5& 19& 4\\ 0& 28& 8\\ 5& 23& 0\end{array}\mid }{-40}}={\displaystyle \frac{0+760+0-(560+920+0)}{-40}}={\displaystyle \frac{-720}{-40}}=18$

$z={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}5& 1& 19\\ 0& 2& 28\\ 5& 1& 23\end{array}\mid }{-40}}={\displaystyle \frac{230+140+0-(190+140+0)}{-40}}={\displaystyle \frac{40}{-40}}=-1$

Comprobamos en la primera ecuación: $5+18-4=19$.

Para $k=0$ la solución única del sistema es $x=1$, $y=18$, $z=-1$.