Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Una fábrica de vino de Mallorca produce 3 tipos de vino: tinto, blanco y rosado. Con la finalidad de saber el precio de cada tipo de vino, hemos comprado vino, el mismo día y en la misma fábrica, de 4 maneras diferentes:

— comprando 3 botellas de vino tinto y 2 de vino blanco hemos pagado 67 €;

— comprando 2 botellas de vino tinto, 4 de vino blanco y 1 de rosado hemos pagado 85 €;

— comprando 1 botella de vino tinto y 1 de rosado hemos pagado 21 €, y finalmente,

— comprando 4 botellas de vino blanco y 5 de rosado hemos pagado 85 €.

a) Escriba, en forma matricial, el sistema de ecuaciones lineales que se debería resolver para poder descubrir el precio de cada tipo de vino. [3 puntos]

b) ¿Es necesario tener los datos de las 4 compras para saber el precio de cada tipo de vino? Justifique la respuesta. [2 puntos]

c) Calcule cuál es el precio de cada tipo de vino. [5 puntos]

Llamamos $x$ al precio de una botella de vino tinto, $y$ al de una de blanco y $z$ al de una de rosado, todos en euros.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Escriba,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{matricial,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{resolver}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{poder}}\mathbf{\text{descubrir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vino.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Cada compra da una ecuación: el número de botellas de cada tipo multiplica al precio correspondiente y el total es lo pagado.

$\{\begin{array}{l}3x+2y=67\\ 2x+4y+z=85\\ x+z=21\\ 4y+5z=85\end{array}$

Separando la matriz de coeficientes, el vector de incógnitas y el de términos independientes, el sistema se escribe en forma matricial como

$\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 0\\ 2& 4& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 4& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}67\\ 85\\ 21\\ 85\end{array}\right)$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Es}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{datos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{compras}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{saber}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vino?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Con tres incógnitas, el rango de la matriz de coeficientes no puede pasar de 3, de modo que si tres de las cuatro ecuaciones ya dan rango 3 las cuatro compras son más de las necesarias. Buscamos un menor de orden tres no nulo, por ejemplo con las tres primeras filas:

$\mid \begin{array}{ccc}3& 2& 0\\ 2& 4& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\mid =12+2+0-0-0-4=10\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{rg}(A)=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

Con esas tres compras el sistema ya es compatible determinado y los precios quedan fijados. No, no es necesario tener los datos de las cuatro compras: bastan tres de ellas, siempre que sean independientes. La cuarta no aporta información nueva; sirve solo de comprobación.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vino.}}\mathbf{\text{[5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Resolvemos por sustitución. De la tercera ecuación despejamos $z$ y de la primera, $y$:

$z=21-x$

$y={\displaystyle \frac{67-3x}{2}}$

Llevamos las dos a la cuarta ecuación, que es la única que aún no hemos usado:

$4\cdot {\displaystyle \frac{67-3x}{2}}+5(21-x)=85$

$2(67-3x)+105-5x=85$

$134-6x+105-5x=85\Rightarrow 239-11x=85\Rightarrow 11x=154\Rightarrow x=14$

$y={\displaystyle \frac{67-42}{2}}={\displaystyle \frac{25}{2}}=\mathrm{12,5},z=21-14=7$

Comprobamos en la segunda ecuación, que ha quedado libre:

$2\cdot 14+4\cdot \mathrm{12,5}+7=28+50+7=85$

La botella de vino tinto cuesta 14 €, la de blanco 12,50 € y la de rosado 7 €.