Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Durante un año, cierta empresa vende 21000 vehículos de tres modelos $A$, $B$ y $C$, al precio de 10000, 15000 y 20000 euros, respectivamente. El total de las ventas es de 332 millones de euros. Se ha observado que también se han vendido 21000 vehículos contando solo los del modelo $B$ y $\lambda$ veces los del modelo $A$.

a) Plantee un sistema de ecuaciones con las condiciones del problema, en función del número de vehículos vendidos de cada modelo. [3 puntos]

b) Calcule el número de vehículos vendidos de cada modelo, suponiendo $\lambda =3$. [3 puntos]

c) Determine si existe algún valor del parámetro $\lambda$ para el cual la anterior situación no se pueda dar. [4 puntos]

Llamamos $x$, $y$ y $z$ al número de vehículos vendidos de los modelos $A$, $B$ y $C$ respectivamente.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{condiciones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{problema,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{veh}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culos}}\mathbf{\text{vendidos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{modelo.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Cada frase del enunciado se traduce en una ecuación: el total de vehículos, el importe total de las ventas y el recuento con el modelo $A$ contado $\lambda$ veces.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=21000\\ 10000x+15000y+20000z=332000000\\ \lambda x+y=21000\end{array}$

La segunda ecuación se simplifica dividiendo por 5000, lo que hace mucho más cómodos los cálculos:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=21000\\ 2x+3y+4z=66400\\ \lambda x+y=21000\end{array}$



Sustituimos el valor del parámetro y resolvemos por reducción.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=21000\\ 2x+3y+4z=66400\\ 3x+y=21000\end{array}$

Despejamos $z$ de la primera ecuación y lo llevamos a la segunda:

$z=21000-x-y$

$2x+3y+4(21000-x-y)=66400$

$2x+3y+84000-4x-4y=66400\Rightarrow -2x-y=-17600\Rightarrow 2x+y=17600$

Restamos esta ecuación de la tercera:

$(3x+y)-(2x+y)=21000-17600\Rightarrow x=3400$

$y=21000-3\cdot 3400=10800$

$z=21000-3400-10800=6800$

Se vendieron 3400 vehículos del modelo $A$, 10800 del modelo $B$ y 6800 del modelo $C$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{existe}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{\lambda }\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{anterior}}\mathbf{\text{situaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{pueda}}\mathbf{\text{dar.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Que la situación no se pueda dar significa que el sistema sea incompatible, así que discutimos con el teorema de Rouché-Frobenius.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 4\\ \lambda & 1& 0\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1(0-4)-1(0-4\lambda )+1(2-3\lambda )=-4+4\lambda +2-3\lambda =\lambda -2$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \lambda =2$

Para $\lambda \mathrm{\ne }2$ el sistema es compatible determinado y la situación se da siempre. Estudiamos el caso $\lambda =2$:

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 21000\\ 2& 3& 66400\\ 2& 1& 21000\end{array}\mid =3400\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A^{\ast })=3$

Los rangos no coinciden y el sistema es incompatible.

Sí existe: para $\lambda =2$ la situación descrita no se puede dar, porque las tres condiciones del enunciado son entonces contradictorias entre sí.