Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $a$,

$\begin{array}{l}3x-2y=4\\ ay=-3\\ ax+3z=0\end{array}\}$

a) Discuta el sistema según el parámetro $a$. [4 puntos]

b) Para el valor del parámetro $a$ para el cual el sistema tiene solución, resuélvalo. [6 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, empezando por el determinante de la matriz de coeficientes. Desarrollamos por la segunda fila, que tiene dos ceros.

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 0\\ 0& a& 0\\ a& 0& 3\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}3& -2& 0& 4\\ 0& a& 0& -3\\ a& 0& 3& 0\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=a\mid \begin{array}{cc}3& 0\\ a& 3\end{array}\mid =a\cdot 9=9a$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow a=0$

Si $a\mathrm{\ne }0$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

de modo que el sistema es compatible determinado.

Si $a=0$, la segunda ecuación queda $0=-3$, que es imposible. Lo confirmamos con los rangos:

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}3& 0& 4\\ 0& 0& -3\\ 0& 3& 0\end{array}\mid =3\cdot \mid \begin{array}{cc}0& -3\\ 3& 0\end{array}\mid =27\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A^{\ast })=3$

Los rangos no coinciden y el sistema es incompatible.

En resumen: el sistema es compatible determinado para todo $a\mathrm{\ne }0$ e incompatible para $a=0$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo.}}\mathbf{\text{[6}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Resolvemos, pues, para $a\mathrm{\ne }0$. La segunda ecuación da directamente una incógnita y las otras dos se despejan en cadena.

$ay=-3\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{3}{a}}$

$3x-2y=4\Rightarrow 3x=4+2y=4-{\displaystyle \frac{6}{a}}\Rightarrow x={\displaystyle \frac{4a-6}{3a}}$

$ax+3z=0\Rightarrow 3z=-ax=-a\cdot {\displaystyle \frac{4a-6}{3a}}={\displaystyle \frac{6-4a}{3}}$

$z={\displaystyle \frac{6-4a}{9}}={\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{4a}{9}}$

Para cualquier valor no nulo del parámetro, la solución única del sistema es

$(x,y,z)=({\displaystyle \frac{4a-6}{3a}},-{\displaystyle \frac{3}{a}},{\displaystyle \frac{6-4a}{9}})$