Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Una empresa fabrica tres tipos de bombilla: A, B y C. La bombilla tipo A tiene 10 puntos LED, la tipo B tiene 20 puntos LED, y la tipo C tiene 50 puntos LED. El número de bombillas de 10 puntos LED fabricadas diariamente es $\lambda$ veces el número de bombillas de 50 puntos LED. A la empresa le interesa saber cuántas bombillas de cada tipo puede fabricar diariamente.

a) Si $\lambda =2$, y esta empresa usa, diariamente, 30000 puntos LED con los cuales fabrica 1300 bombillas:

a.1) Plantee el sistema de ecuaciones lineales de este problema. [3 puntos]

a.2) Clasifique el sistema de ecuaciones lineales y, si es posible, determine cuántas bombillas de cada tipo se pueden fabricar. [4 puntos]

b) Si $\lambda =3$, y la empresa fabrica diariamente 1000 bombillas, clasifique el sistema de ecuaciones lineales y determine el número de puntos LED necesarios. [2 puntos] En este caso, ¿cuántas bombillas de cada tipo se pueden fabricar? [1 punto]

Llamamos $x$, $y$ y $z$ al número de bombillas de tipo $A$, $B$ y $C$ fabricadas diariamente. Las de tipo $A$ son las de 10 puntos LED y las de tipo $C$, las de 50, de modo que la condición del enunciado se escribe $x=\lambda z$.

$\mathbf{\text{a.1)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{problema.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Con $\lambda =2$, las tres condiciones son el total de puntos LED, el total de bombillas y la relación entre los dos tipos extremos.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=1300\\ 10x+20y+50z=30000\\ x=2z\end{array}$

$\mathbf{\text{a.2)}}\mathbf{\text{Clasifique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{lineales}}\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{posible,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{bombillas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{pueden}}\mathbf{\text{fabricar.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Escribimos el sistema en forma ordenada y calculamos el determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 10& 20& 50\\ 1& 0& -2\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1(-40-0)-1(-20-50)+1(0-20)=-40+70-20=10\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible determinado. Lo resolvemos por sustitución, empezando por la tercera ecuación:

$x=2z$

$2z+y+z=1300\Rightarrow y=1300-3z$

$10(2z)+20(1300-3z)+50z=30000$

$20z+26000-60z+50z=30000\Rightarrow 10z=4000\Rightarrow z=400$

$y=1300-1200=100,x=800$

Se pueden fabricar 800 bombillas de tipo $A$, 100 de tipo $B$ y 400 de tipo $C$, que efectivamente consumen $8000+2000+20000=30000$ puntos LED.



Ahora el número de puntos LED no es un dato, sino una incógnita más, así que las condiciones disponibles son solo dos.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=1000\\ x=3z\end{array}$

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& -3\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad. Tomando $z=\lambda$ como parámetro:

$x=3\lambda ,y=1000-4\lambda ,z=\lambda$

Calculamos ahora los puntos LED que se consumen:

$10x+20y+50z=10(3\lambda )+20(1000-4\lambda )+50\lambda$

$=30\lambda +20000-80\lambda +50\lambda =20000$

El parámetro desaparece: hagan falta las bombillas que hagan falta de cada tipo, siempre se necesitan exactamente 20000 puntos LED.

En cuanto al reparto, no queda determinado: hay infinitas posibilidades, todas de la forma $(3\lambda ,1000-4\lambda ,\lambda )$. Como el número de bombillas no puede ser negativo, el parámetro ha de cumplir $0\le \lambda \le 250$; por ejemplo, con $\lambda =100$ saldrían 300 bombillas de tipo $A$, 600 de tipo $B$ y 100 de tipo $C$.