Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Tres amigos, Aythami, Besay y Chamaida, deciden hacer un fondo común con el dinero que tienen para merendar. La razón (o cociente) entre la suma y la diferencia de las cantidades de dinero que ponen Aythami y Besay es $11\mathrm{/}5$. La diferencia entre las cantidades aportadas por Aythami y Chamaida es el doble de lo que ha puesto Besay. Además, el doble de la suma de las cantidades que ponen Besay y Chamaida excede en 2 euros a la que aporta Aythami. Halle la cantidad de dinero que aporta cada uno. [2,5 puntos]

Se trata de un problema que se resuelve planteando un sistema de ecuaciones lineales. Llamamos:

$x\equiv$ euros que aporta Aythami

$y\equiv$ euros que aporta Besay

$z\equiv$ euros que aporta Chamaida

Traducimos una a una las tres condiciones del enunciado. La primera dice que el cociente entre la suma y la diferencia de lo que ponen Aythami y Besay vale ${\displaystyle \frac{11}{5}}$; la segunda, que la diferencia entre lo de Aythami y lo de Chamaida es el doble de lo de Besay; la tercera, que el doble de la suma de Besay y Chamaida supera en 2 euros a lo de Aythami.

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x+y}{x-y}}={\displaystyle \frac{11}{5}}\\ x-z=2y\\ 2(y+z)=x+2\end{array}$

La primera ecuación no es lineal tal y como está escrita, pero se vuelve lineal multiplicando en cruz:

$5(x+y)=11(x-y)\Rightarrow 5x+5y=11x-11y\Rightarrow 16y=6x\Rightarrow 3x=8y$

$\{\begin{array}{l}3x-8y=0\\ x-2y-z=0\\ -x+2y+2z=2\end{array}$

De la primera ecuación despejamos $y$ en función de $x$:

$y={\displaystyle \frac{3x}{8}}$

y sustituyendo en la segunda obtenemos también $z$ en función de $x$:

$z=x-2y=x-{\displaystyle \frac{3x}{4}}={\displaystyle \frac{x}{4}}$

Llevamos las dos expresiones a la tercera ecuación, que queda con una sola incógnita:

$2({\displaystyle \frac{3x}{8}}+{\displaystyle \frac{x}{4}})=x+2\Rightarrow 2\cdot {\displaystyle \frac{5x}{8}}=x+2\Rightarrow {\displaystyle \frac{5x}{4}}-x=2$

${\displaystyle \frac{x}{4}}=2\Rightarrow x=8$

$y={\displaystyle \frac{3\cdot 8}{8}}=3,z={\displaystyle \frac{8}{4}}=2$

Comprobamos las tres condiciones del enunciado con los valores obtenidos:

${\displaystyle \frac{8+3}{8-3}}={\displaystyle \frac{11}{5}};8-2=6=2\cdot 3;2(3+2)=10=8+2$

Aythami aporta 8 €, Besay 3 € y Chamaida 2 € al fondo común de la merienda.