Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}-x+ky+2z=k\\ 2x+ky-z=2\\ kx-y+2z=k\end{array}$

a) Discuta la compatibilidad del sistema según los diversos valores de $k$. [1,5 puntos]

b) Resuelva el sistema para $k=2$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{compatibilidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{diversos}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{k}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada y con el número de incógnitas.

$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& k& 2\\ 2& k& -1\\ k& -1& 2\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-1& k& 2& k\\ 2& k& -1& 2\\ k& -1& 2& k\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-2k-k^2-4-(2k^2-1+4k)=-3k^2-6k-3=-3(k+1{)}^2$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow (k+1{)}^2=0\Rightarrow k=-1$

Si $k\mathrm{\ne }-1$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$, con lo que $\mathrm{ran}(A)=3$ y, como la ampliada no puede tener rango mayor que 3, también $\mathrm{ran}(A^{\ast })=3$. Luego

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{nº de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

y el sistema es compatible determinado.

Si $k=-1$:

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-1& -1& 2& -1\\ 2& -1& -1& 2\\ -1& -1& 2& -1\end{array}\right)$

La primera y la tercera fila son idénticas, término independiente incluido, de modo que la tercera ecuación no aporta nada nuevo y puede eliminarse. Eso hace que las dos matrices tengan el mismo rango.

$\mid \begin{array}{cc}-1& -1\\ 2& -1\end{array}\mid =1+2=3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Todo menor de orden 3 de $A^{\ast }$ tiene dos filas iguales, luego se anula y $\mathrm{ran}(A^{\ast })=2$.

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3=\text{nº de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

y el sistema es compatible indeterminado, con infinitas soluciones que dependen de un parámetro.

Finalmente, el sistema es compatible determinado para todo $k$ distinto de $-1$, y compatible indeterminado para $k=-1$. No es incompatible para ningún valor del parámetro.



Como $2\mathrm{\ne }-1$, por el apartado anterior el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

$\{\begin{array}{l}-x+2y+2z=2\\ 2x+2y-z=2\\ 2x-y+2z=2\end{array}$

Despejamos $x$ en la primera ecuación y lo llevamos a las otras dos.

$x=2y+2z-2$

$2(2y+2z-2)+2y-z=2\Rightarrow 6y+3z=6\Rightarrow 2y+z=2$

$2(2y+2z-2)-y+2z=2\Rightarrow 3y+6z=6\Rightarrow y+2z=2$

Del sistema de dos ecuaciones que queda, multiplicando la segunda por 2 y restando:

$(2y+4z)-(2y+z)=4-2\Rightarrow 3z=2\Rightarrow z={\displaystyle \frac{2}{3}}$

$y=2-2z=2-{\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

$x=2\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}+2\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}-2={\displaystyle \frac{8}{3}}-2={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Comprobamos en la tercera ecuación del sistema, que no se ha usado para despejar:

$2\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}+2\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{4-2+4}{3}}=2$

Para $k=2$ la solución del sistema es $x=y=z={\displaystyle \frac{2}{3}}$.