Examen de Matemáticas II de Islas Canarias 2023 (convocatoria extraordinaria)

Las ventas de un determinado producto vienen dadas por el siguiente modelo:

$V(t)={\displaystyle \frac{5t^2}{8+t^2}},t\ge 0$

donde $V(t)$ son las ventas en miles y $t$ mide el tiempo desde que se inicia la venta del producto, en meses.

a) Calcule las tasas de variación media del primer y segundo semestre. Compare e interprete los resultados. [0,75 puntos]

b) Se afirma que este modelo es creciente en su dominio. Justifique si esta afirmación es correcta. [0,75 puntos]

c) ¿En qué momento las ventas alcanzan 4000 unidades? [0,5 puntos]

d) Si el producto se vende a 2 € la unidad y los ingresos de esta empresa se modelizan teniendo en cuenta las ventas mensuales, ¿hacia dónde tienden los ingresos con el paso del tiempo? Justifique la respuesta. [0,5 puntos]

Resuelva los siguientes apartados:

a) Averigüe el valor de $k$ para que sea cierta la siguiente igualdad:

${\displaystyle \underset{x\to -2}{\lim }{\displaystyle \frac{k{x}^2-4k}{x^2+6x+8}}={\displaystyle \frac{3}{2}}}$ [1 punto]

b) Resuelva la siguiente integral indefinida: ${\displaystyle \int x\sqrt{2x-1}dx}$ [1,5 puntos]

Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}-x+ky+2z=k\\ 2x+ky-z=2\\ kx-y+2z=k\end{array}$

a) Discuta la compatibilidad del sistema según los diversos valores de $k$. [1,5 puntos]

b) Resuelva el sistema para $k=2$. [1 punto]

Resuelva la ecuación matricial $AX+B^t=A^2$, siendo:

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\text{y}B=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& -1& 0\\ -1& 2& 3\end{array}\right)$ [2,5 puntos]

En el espacio tridimensional tenemos el punto y la recta siguientes:

$P(1,-2,0);r:\{\begin{array}{l}x-2y+z=0\\ x-z=0\end{array}$

a) Halle la ecuación del plano tal que la recta perpendicular al mismo y que pasa por el origen de coordenadas corta al plano buscado en el punto $P$. Averigüe el ángulo que forma el plano encontrado con la recta $r$. [1,75 puntos]

b) Halle el punto de intersección de la recta $r$ y la recta $s:x-5={\displaystyle \frac{y+1}{-2}}={\displaystyle \frac{z-9}{3}}$. [0,75 puntos]

En el espacio tridimensional tenemos las ecuaciones de las rectas siguientes:

$r:\{\begin{array}{l}8x+2y-3z+12=0\\ -7x-y+3z=9\end{array};s:x=y+1={\displaystyle \frac{z-2}{2}}$

a) Compruebe que $r$ y $s$ están contenidas en un mismo plano $\pi$ y halle la ecuación de dicho plano. [1,25 puntos]

b) Averigüe la ecuación de la recta que pasa por el punto $P(0,-1,2)$ y corta perpendicularmente a la recta $r$. [1,25 puntos]

Aythami tiene un sobre donde guarda el dinero que ha podido reunir; el sobre contiene 4 billetes de 5 €, 6 billetes de 10 € y 2 billetes de 50 €. Quiere comprar algunas cosas y decide dejar al azar cuánto dinero va a coger del sobre. Para ello, saca aleatoriamente, sin reemplazamiento y de forma consecutiva, dos billetes del sobre.

a) Exprese el espacio muestral del experimento que va a realizar Aythami. [0,5 puntos]

b) Si se quiere comprar un videojuego que cuesta 57 €, ¿qué probabilidad hay de que pueda hacerlo con los billetes que saca del sobre? [1 punto]

c) Si al final obtiene, con este experimento, 60 € del sobre, ¿qué probabilidad hay de que el primer billete fuera de 10 €? [1 punto]

La probabilidad de que un coche de carreras sufra un reventón en un neumático durante una competición es de 0,04. En una competición en la que participan 10 coches:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan 2 reventones? [0,5 puntos]

b) Se afirma que existe como mucho un 1 % de posibilidades de que ocurran más de 2 reventones durante la carrera. ¿Es cierta esta afirmación? Justifíquelo. [1 punto]

c) Estudiamos las competiciones realizadas en una temporada con un total de 250 coches. ¿Qué probabilidad hay de que se produzcan más de 12 reventones en total? (Suponiendo la independencia de los sucesos.) [1 punto]