Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

En el espacio tridimensional tenemos el punto y la recta siguientes:

$P(1,-2,0);r:\{\begin{array}{l}x-2y+z=0\\ x-z=0\end{array}$

a) Halle la ecuación del plano tal que la recta perpendicular al mismo y que pasa por el origen de coordenadas corta al plano buscado en el punto $P$. Averigüe el ángulo que forma el plano encontrado con la recta $r$. [1,75 puntos]

b) Halle el punto de intersección de la recta $r$ y la recta $s:x-5={\displaystyle \frac{y+1}{-2}}={\displaystyle \frac{z-9}{3}}$. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{tal}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{corta}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{buscado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{P}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Averig}}\ddot{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{encontrado}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La recta que se describe es perpendicular al plano, pasa por el origen y lo corta en $P$. Eso significa que el segmento que une el origen con $P$ va en la dirección perpendicular al plano: el vector $\overrightarrow{OP}$ es, por tanto, un vector normal del plano buscado.











$\overrightarrow{OP}=(1,-2,0)-(0,0,0)=(1,-2,0)={\vec{n}}_{\pi }$

$\pi :x-2y+0\cdot z+D=0$

Determinamos $D$ con la condición de que $P$ pertenece al plano:

$1-2\cdot (-2)+D=0\Rightarrow 5+D=0\Rightarrow D=-5$

$\pi :x-2y-5=0$





Para el ángulo hace falta el vector director de $r$, que es el producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen.

${\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -2& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\mid =(2,2,2)$

Dividiendo entre 2, ${\vec{v}}_r=(1,1,1)$. El ángulo entre una recta y un plano es el complementario del que forman el director y el normal, de modo que el producto escalar da directamente su seno.

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{\mid {\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }\mid }{\mid {\vec{v}}_r\mid \mid {\vec{n}}_{\pi }\mid }}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1-2+0\mathrm{\mid }}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{15}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{15}}\approx \mathrm{0,2582}$

$\alpha =\mathrm{arcsen}(\mathrm{0,2582})\approx {14}^{\circ }{57}^{\mathrm{\prime }}{48}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$

El plano buscado es $\pi :x-2y-5=0$ y forma con la recta $r$ un ángulo de, aproximadamente, ${14}^{\circ }{58}^{\mathrm{\prime }}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{intersecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Escribimos $s$ en paramétricas y obligamos a su punto genérico a cumplir las dos ecuaciones de $r$.

$x-5={\displaystyle \frac{y+1}{-2}}={\displaystyle \frac{z-9}{3}}=\mu \Rightarrow s:\{\begin{array}{l}x=5+\mu \\ y=-1-2\mu \\ z=9+3\mu \end{array}\mu \in \mathbb{R}$

La segunda ecuación de $r$ es la más sencilla y ya determina el parámetro:

$x-z=0\Rightarrow (5+\mu )-(9+3\mu )=0\Rightarrow -4-2\mu =0\Rightarrow \mu =-2$

Comprobamos que ese mismo valor cumple también la primera ecuación de $r$:

$x-2y+z=(5-2)-2(-1+4)+(9-6)=3-6+3=0$

Se cumple, luego las rectas se cortan, y sustituyendo $\mu =-2$ en las paramétricas de $s$ se obtiene el punto.

Las rectas $r$ y $s$ se cortan en el punto $(3,3,3)$.