Examen de Matemáticas II de Islas Canarias 2025 (convocatoria ordinaria)

En un hospital de las Islas Canarias, un equipo de investigación está analizando cómo se metaboliza en sangre un nuevo medicamento llamado Metabolix, utilizado para tratar infecciones bacterianas. La concentración residual del fármaco en el plasma sanguíneo, denotada como $f(x)$ (medida en miligramos por litro, $\mathrm{m}\mathrm{g}\mathrm{/}\mathrm{L}$), depende del tiempo transcurrido $x$ (en horas) desde su administración. El estudio indica que el medicamento sigue dos fases diferenciadas:

— Fase de absorción: en las primeras dos horas, el fármaco se distribuye por el organismo.

— Fase de eliminación: a partir de la segunda hora, el fármaco empieza a eliminarse.

Este comportamiento se modeliza mediante la siguiente función matemática:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-6x+11& \text{si }0\le x<2\\ {\displaystyle \frac{9}{\sqrt{5x-1}}}& \text{si }x\ge 2\end{array}$

El equipo de investigación necesita aclarar algunas dudas del modelo matemático:

a) Confirme si este modelo es realmente continuo. Justifique su respuesta. [0,5 puntos]

b) La concentración residual varía con el tiempo. Compruebe que la velocidad de crecimiento instantánea de la concentración residual a las 3 horas de administrar Metabolix es mayor que $-\mathrm{0,5}(\mathrm{m}\mathrm{g}\mathrm{/}\mathrm{L})\mathrm{/}\mathrm{h}$. [0,75 puntos]

c) ¿Es cierto que la concentración residual del fármaco en la sangre siempre va disminuyendo con respecto al tiempo transcurrido? Averigüe en qué instante la concentración residual es máxima y calcule el valor de dicha concentración. [0,75 puntos]

d) Pasado un largo periodo de tiempo, ¿cuál será la concentración residual de este medicamento? [0,5 puntos]

Dada la matriz $M\in M_{2\times 2}$, $M=\left(\begin{array}{cc}1& a-3\\ -1& 2-a\end{array}\right)$, con $a\in \mathbb{R}$.

a) Para cualquier valor del parámetro $a$, compruebe que $M$ es invertible y dé la expresión de $M^{-1}$. [1 punto]

b) Para $a=-1$, calcule el valor de la matriz $X$ que satisface la ecuación $MA=B-MX$, siendo:

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 3\\ 1& 2& -2\end{array}\right)\text{y}B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ -1& 2& 1\end{array}\right)$ [1,5 puntos]

Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}5& -4& 2\\ 2& k& 1\\ -4& 4& k\end{array}\right)$, con $k\in \mathbb{R}$.

a) Estudie el rango de $A$ según los valores del parámetro $k$. [1,25 puntos]

b) Para $k=-1$, compruebe que $A^2=2A-I$, donde $I$ denota la matriz identidad de orden 3. Además, utilizando la igualdad anterior, verifique, sin calcular la potencia, que $A^4=4A-3I$. [1,25 puntos]

En el espacio tridimensional, dados el punto $P$ y las rectas $r_1$ y $r_2$ siguientes:

$P(2,-1,1);r_1:\{\begin{array}{l}4x+3y-3z=2\\ 2x-3y-6z=1\end{array};r_2:{\displaystyle \frac{x+3}{2}}=2-y={\displaystyle \frac{z+4}{3}}$

a) Compruebe que $P\in r_1$ y que $P\mathrm{\notin }{r}_2$. [0,25 puntos]

b) Halle la distancia entre el punto $P$ y el punto de intersección de las rectas $r_1$ y $r_2$. [1 punto]

c) Halle el ángulo con el que se cortan las rectas $r_1$ y $r_2$. [1,25 puntos]

En el espacio tridimensional se consideran los siguientes elementos geométricos:

$A(1,0,2);\pi :-x+2y+z+1=0;r:\{\begin{array}{l}4x-7y+2z=7\\ y-2z+5=0\end{array}$

a) Halle la posición relativa del plano $\pi$ y la recta $r$. [1 punto]

b) Halle el punto simétrico de $A$ con respecto del plano $\pi$. [1,5 puntos]

En una feria, un participante tiene la oportunidad de ganar premios eligiendo entre tres cajas sorpresa: una con premio y dos vacías. Hay una regla especial si se selecciona una caja vacía:

En caso de elegir una caja sin premio, se debe extraer una bola al azar de una urna compuesta por 2 bolas verdes y 3 negras, de idéntica forma y tamaño. Si se elige la bola negra, finaliza la jugada sin premio. Si se elige la bola verde, tendrá la oportunidad de elegir una nueva caja, de las dos cajas no seleccionadas anteriormente, y acabaría la jugada.

Responda a las siguientes cuestiones:

a) Dibuje un diagrama de árbol que refleje todos los posibles casos de este juego. [0,5 puntos]

b) Calcule la probabilidad de obtener premio en este juego. [1 punto]

c) Si el participante ha obtenido premio, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido una bola verde en la urna? [1 punto]

La temperatura diurna en el Parque Nacional de las Cañadas del Teide durante el mes de agosto sigue una distribución normal. La temperatura media durante el día es de 22 °C con desviación típica de 5 °C. Además, se sabe que las condiciones ideales para realizar senderismo son cuando la temperatura diurna se sitúa entre 18 °C y 25 °C. Si se superan los 30 °C, los excursionistas tendrían un riesgo elevado de insolación. Mientras que, si la temperatura se sitúa por debajo de los 15 °C, existe riesgo de cambios meteorológicos bruscos previstos para ese día.

Se está elaborando una guía informativa para los servicios de emergencia. Responda a lo siguiente:

a) ¿Qué probabilidad hay de que un día de agosto se den las condiciones ideales para realizar senderismo? [0,75 puntos]

b) ¿Cuántos días de agosto se espera que haya senderistas con riesgo de insolación? [0,75 puntos]

c) Si las Cañadas del Teide recibe un promedio de 11 000 visitantes diarios en el mes de agosto y, de ellos, un 5 % realiza senderismo, ¿cuántos senderistas se estima que se puedan ver afectados por cambios meteorológicos bruscos a lo largo de dicho mes? [1 punto]