Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

En el espacio tridimensional, dados el punto $P$ y las rectas $r_1$ y $r_2$ siguientes:

$P(2,-1,1);r_1:\{\begin{array}{l}4x+3y-3z=2\\ 2x-3y-6z=1\end{array};r_2:{\displaystyle \frac{x+3}{2}}=2-y={\displaystyle \frac{z+4}{3}}$

a) Compruebe que $P\in r_1$ y que $P\mathrm{\notin }{r}_2$. [0,25 puntos]

b) Halle la distancia entre el punto $P$ y el punto de intersección de las rectas $r_1$ y $r_2$. [1 punto]

c) Halle el ángulo con el que se cortan las rectas $r_1$ y $r_2$. [1,25 puntos]

Un punto pertenece a una recta dada en forma implícita si satisface sus dos ecuaciones, y pertenece a una recta dada en forma continua si sus coordenadas producen el mismo valor en los tres cocientes.

$4\cdot 2+3\cdot (-1)-3\cdot 1=8-3-3=2$

$2\cdot 2-3\cdot (-1)-6\cdot 1=4+3-6=1$

Se cumplen las dos ecuaciones de $r_1$, luego $P\in r_1$.

${\displaystyle \frac{2+3}{2}}={\displaystyle \frac{5}{2}};2-(-1)=3;{\displaystyle \frac{1+4}{3}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$

Los tres valores son distintos, luego $P\mathrm{\notin }{r}_2$.



Escribimos $r_2$ en paramétricas y obligamos a su punto genérico a cumplir las dos ecuaciones de $r_1$: el valor del parámetro que las satisfaga da el punto de corte.

${\displaystyle \frac{x+3}{2}}=2-y={\displaystyle \frac{z+4}{3}}=t\Rightarrow r_2:\{\begin{array}{l}x=-3+2t\\ y=2-t\\ z=-4+3t\end{array}t\in \mathbb{R}$

Sustituimos en la primera ecuación de $r_1$:

$4(-3+2t)+3(2-t)-3(-4+3t)=-12+8t+6-3t+12-9t=6-4t$

$6-4t=2\Rightarrow t=1$

Comprobamos que ese mismo valor cumple también la segunda ecuación:

$2(-3+2t)-3(2-t)-6(-4+3t)=-6+4t-6+3t+24-18t=12-11t$

$12-11\cdot 1=1$

Se cumple, de modo que las rectas se cortan y el punto de corte se obtiene sustituyendo $t=1$ en las paramétricas de $r_2$.

$Q(-1,1,-1)$

$d(P,Q)=\sqrt{(-1-2{)}^2+(1-(-1){)}^2+(-1-1{)}^2}=\sqrt{9+4+4}=\sqrt{17}\approx \mathrm{4,1231}\text{ u}$

La distancia entre $P$ y el punto de intersección de las dos rectas es $\sqrt{17}$ unidades de longitud.



El ángulo que forman dos rectas secantes es el que forman sus vectores directores, tomado siempre agudo; por eso en el coseno aparece el valor absoluto del producto escalar. De $r_1$, dada como intersección de dos planos, el vector director es el producto vectorial de las dos normales.

${\vec{v}}_{r_1}={\vec{n}}_1\times {\vec{n}}_2=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 4& 3& -3\\ 2& -3& -6\end{array}\mid =(-27,18,-18)$

Como de un vector director solo importa la dirección, dividimos entre $-9$ para manejar números más cómodos.

${\vec{v}}_{r_1}=(3,-2,2),{\vec{v}}_{r_2}=(2,-1,3)$











$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\mid {\vec{v}}_{r_1}\cdot {\vec{v}}_{r_2}\mid }{\mid {\vec{v}}_{r_1}\mid \mid {\vec{v}}_{r_2}\mid }}$

$={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }6+2+6\mathrm{\mid }}{\sqrt{9+4+4}\cdot \sqrt{4+1+9}}}={\displaystyle \frac{14}{\sqrt{17}\cdot \sqrt{14}}}$

$={\displaystyle \frac{\sqrt{238}}{17}}\approx \mathrm{0,9075}$

$\alpha =\arccos (\mathrm{0,9075})\approx {24}^{\circ }{50}^{\mathrm{\prime }}{24}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$





Las rectas $r_1$ y $r_2$ se cortan formando un ángulo de, aproximadamente, ${24}^{\circ }{50}^{\mathrm{\prime }}$.