Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

En el espacio tridimensional tenemos las rectas siguientes:

$r_1:\{\begin{array}{l}x-3y+2z+2=0\\ 2x+y-3z=3\end{array},r_2:{\displaystyle \frac{1-x}{2}}=y={\displaystyle \frac{1-z}{2}}$

a) Estudie la posición relativa de las rectas anteriores. [1 punto]

b) Halle la ecuación de la recta $s$ que tiene dirección perpendicular a ambas rectas y que pasa por $P(0,\frac{1}{2},0)$. Calcule el punto de corte de la recta $s$ con la recta $r_1$. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{anteriores.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se comparan primero los vectores directores —si fueran proporcionales las rectas serían paralelas o coincidentes— y, si no lo son, se estudia el producto mixto de los dos directores con el vector que une un punto de cada recta: si se anula, las rectas se cortan; si no, se cruzan.

${\vec{v}}_{r_1}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -3& 2\\ 2& 1& -3\end{array}\mid =(7,7,7)$

Dividiendo entre 7, ${\vec{v}}_{r_1}=(1,1,1)$. De $r_2$, escribiendo la forma continua con parámetro $\mu$:

${\displaystyle \frac{1-x}{2}}=y={\displaystyle \frac{1-z}{2}}=\mu \Rightarrow r_2:\{\begin{array}{l}x=1-2\mu \\ y=\mu \\ z=1-2\mu \end{array}\Rightarrow P_2(1,0,1),{\vec{v}}_{r_2}=(-2,1,-2)$

Los directores no son proporcionales, pues ${\displaystyle \frac{1}{-2}}\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{1}{1}}$, así que las rectas no son paralelas.

Buscamos un punto de $r_1$ haciendo $z=0$ en sus dos ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x-3y=-2\\ 2x+y=3\end{array}\Rightarrow x=1,y=1\Rightarrow P_1(1,1,0)$

$\overrightarrow{P_1{P}_2}=(1,0,1)-(1,1,0)=(0,-1,1)$

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -2& 1& -2\\ 0& -1& 1\end{array}\mid =1+0+2-0-2+2=3\mathrm{\ne }0$

El producto mixto no se anula, de modo que las rectas $r_1$ y $r_2$ se cruzan.



Un vector perpendicular a los dos directores a la vez es su producto vectorial, así que ese es el vector director de $s$; con el punto que da el enunciado la recta queda determinada.

${\vec{v}}_s={\vec{v}}_{r_1}\times {\vec{v}}_{r_2}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 1\\ -2& 1& -2\end{array}\mid =(-3,0,3)$











Dividiendo entre $-3$, ${\vec{v}}_s=(1,0,-1)$.

$s:\{\begin{array}{l}x=t\\ y={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ z=-t\end{array}t\in \mathbb{R}$

Obsérvese que $P$ es un punto de $r_2$ —se obtiene con $\mu ={\displaystyle \frac{1}{2}}$—, de modo que $s$ es la perpendicular común a las dos rectas que se cruzan.





Para el punto de corte con $r_1$ escribimos esta recta en paramétricas y obligamos a que los dos puntos genéricos coincidan.

$r_1:\{\begin{array}{l}x=1+\lambda \\ y=1+\lambda \\ z=\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

La segunda coordenada da directamente el valor del parámetro:

$1+\lambda ={\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow \lambda =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\lambda =-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow ({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}})$

Comprobamos que ese punto también es de $s$, con $t={\displaystyle \frac{1}{2}}$, y que cumple las dos ecuaciones de $r_1$:

${\displaystyle \frac{1}{2}}-3\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+2\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})+2=0;2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}-3\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})=3$

La recta pedida es la que pasa por $P$ con vector director $(1,0,-1)$, y corta a $r_1$ en el punto $({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{2}})$.