Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

En el espacio tridimensional consideramos el plano y las rectas siguientes:

$\pi :2x+3y-z=4;r:\{\begin{array}{l}x+y-z=0\\ 2x+5y+z=0\end{array};s:{\displaystyle \frac{x-1}{1}}={\displaystyle \frac{y-2}{0}}={\displaystyle \frac{z-3}{1}}$

a) Calcule el punto simétrico de $P(-2,1,2)$ respecto de $\pi$. [1,25 puntos]

b) Calcule el ángulo que forman $r$ y $s$. [1,25 puntos]

El procedimiento tiene tres fases.











i) Construimos una recta $t$ que, pasando por $P$, sea perpendicular a $\pi$; su vector director es el normal del plano.

$t:\{\begin{array}{l}x=-2+2\lambda \\ y=1+3\lambda \\ z=2-\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

Punto $\to P(-2,1,2)$

Vector director $\to {\vec{v}}_t={\vec{n}}_{\pi }=(2,3,-1)$





ii) Calculamos $R$, el pie de la perpendicular, como intersección de $t$ con $\pi$:

$2(-2+2\lambda )+3(1+3\lambda )-(2-\lambda )=-4+4\lambda +3+9\lambda -2+\lambda =14\lambda -3$

$14\lambda -3=4\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$R(-1,{\displaystyle \frac{5}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}})$

iii) Basta razonar que $R$ es el punto medio del segmento $\overline{P{P}^{\mathrm{\prime }}}$. Así:

$R=({\displaystyle \frac{-2+P_x^{\mathrm{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{1+P_y^{\mathrm{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{2+P_z^{\mathrm{\prime }}}{2}})$

$\{\begin{array}{l}-1={\displaystyle \frac{-2+P_x^{\mathrm{\prime }}}{2}}\Rightarrow P_x^{\mathrm{\prime }}=0\\ {\displaystyle \frac{5}{2}}={\displaystyle \frac{1+P_y^{\mathrm{\prime }}}{2}}\Rightarrow P_y^{\mathrm{\prime }}=4\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{2+P_z^{\mathrm{\prime }}}{2}}\Rightarrow P_z^{\mathrm{\prime }}=1\end{array}$

El simétrico de $P$ respecto del plano $\pi$ es el punto $P^{\mathrm{\prime }}(0,4,1)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forman}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El ángulo que forman dos rectas es el que forman sus vectores directores, tomado siempre agudo; de ahí el valor absoluto en el producto escalar. De $r$, dada como intersección de dos planos, el vector director es el producto vectorial de las normales.

${\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& -1\\ 2& 5& 1\end{array}\mid =(6,-3,3)$

Dividiendo entre 3, ${\vec{v}}_r=(2,-1,1)$. De $s$, escrita en forma continua, se lee directamente ${\vec{v}}_s=(1,0,1)$.

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\mid {\vec{v}}_r\cdot {\vec{v}}_s\mid }{\mid {\vec{v}}_r\mid \mid {\vec{v}}_s\mid }}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2+0+1\mathrm{\mid }}{\sqrt{4+1+1}\cdot \sqrt{1+0+1}}}={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}}$

$={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{12}}}={\displaystyle \frac{3}{2\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\alpha =\arccos {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}={30}^{\circ }$

Las rectas $r$ y $s$ forman un ángulo de exactamente ${30}^{\circ }$.