Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

En el espacio tridimensional tenemos las siguientes ecuaciones de rectas:

$r:\{\begin{array}{l}x+2y-7z=0\\ 2x+3y-12z+1=0\end{array};s:\{\begin{array}{l}2x-7y-3z=22\\ x-y+z=1\end{array}$

a) Estudie la posición relativa de $r$ y $s$. [1,25 puntos]

b) Halle la ecuación del plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se comparan primero los vectores directores —si fueran proporcionales las rectas serían paralelas o coincidentes— y, si no lo son, se estudia el producto mixto de los dos directores con el vector que une un punto de cada recta: si se anula, las rectas se cortan; si no, se cruzan.

${\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 2& -7\\ 2& 3& -12\end{array}\mid =(-3,-2,-1)$

${\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& -7& -3\\ 1& -1& 1\end{array}\mid =(-10,-5,5)$

Dividiendo entre $-5$, ${\vec{v}}_s=(2,1,-1)$. Los dos directores no son proporcionales, pues ${\displaystyle \frac{-3}{2}}\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{-2}{1}}$, así que las rectas no son paralelas.

Buscamos un punto de cada recta haciendo $z=0$ en sus ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x+2y=0\\ 2x+3y=-1\end{array}\Rightarrow x=-2,y=1\Rightarrow P_r(-2,1,0)$

$\{\begin{array}{l}2x-7y=22\\ x-y=1\end{array}\Rightarrow x=-3,y=-4\Rightarrow P_s(-3,-4,0)$

$\overrightarrow{P_r{P}_s}=(-3,-4,0)-(-2,1,0)=(-1,-5,0)$

$\mid \begin{array}{ccc}-3& -2& -1\\ 2& 1& -1\\ -1& -5& 0\end{array}\mid =0-2+10-(1-15+0)=8+14=22\mathrm{\ne }0$

El producto mixto no se anula, luego los tres vectores no son coplanarios: las rectas $r$ y $s$ se cruzan.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{paralelo}}\mathbf{\text{a}}\mathit{s}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Un plano que contenga a $r$ y sea paralelo a $s$ tiene por vectores directores los de las dos rectas y pasa por cualquier punto de $r$. Su vector normal es, por tanto, el producto vectorial de los dos directores.

$\vec{n}={\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -3& -2& -1\\ 2& 1& -1\end{array}\mid =(3,-5,1)$

$\pi :3x-5y+z+D=0$

$P_r(-2,1,0)\in \pi \Rightarrow -6-5+0+D=0\Rightarrow D=11$



Falta comprobar que $s$ queda realmente fuera del plano, porque si estuviera dentro no sería paralela sino contenida. Basta sustituir su punto:

$P_s(-3,-4,0):3\cdot (-3)-5\cdot (-4)+0+11=-9+20+11=22\mathrm{\ne }0$

El plano pedido es $\pi :3x-5y+z+11=0$: contiene a $r$ y es paralelo a $s$, que no pertenece a él.