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Examen de Matemáticas II de Islas Canarias 2023 (convocatoria ordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Islas Canarias, convocatoria ordinaria de 2023. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Derivadas

Halle la función polinómica

f (x)

que verifica que tiene un punto mínimo en

M (1, 2)

y su segunda derivada es

f^{''} (x) = 2 x + 3

. Dé la expresión de

f (x)

. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Optimización

Se quiere construir una Casa de la Juventud de

240 m^{2}

de superficie, que estará rodeada por una zona ajardinada con las dimensiones de la imagen.

Figura del ejercicio

Si se quiere minimizar la superficie total de la zona ajardinada, ¿qué dimensiones debe tener la Casa de la Juventud? ¿Cuál es el área de la zona ajardinada? [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Matrices

Dadas las matrices

A = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & - 1 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} - 1 & 2 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}) y C = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{array})

a) Compruebe si la matriz

M = 2 I_{3} + B^{t}

tiene inversa, donde

I_{3}

es la matriz identidad de orden 3. [0,75 puntos]

b) Justifique que existe la matriz

X

que verifica la ecuación siguiente:

2 X + C = A - X \cdot B^{t}

Calcule razonadamente dicha matriz

X

. [1,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Sistemas de ecuaciones

Un bar de tapas canario solo ofrece tres platos en su menú: escaldón, tollos y carajacas. El precio medio de los tres platos (la ración) es de 5 €. Se sirven 30 raciones de escaldón, 20 raciones de tollos y 10 raciones de carajacas, por lo que se ingresaron 255 euros en total. Sabiendo que el triple del precio de las carajacas supera en diez euros el doble del precio de los tollos, calcule el precio de la ración de cada producto. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Rectas y Planos

En el espacio tridimensional consideramos el plano y las rectas siguientes:

π : 2 x + 3 y - z = 4; r : {\begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2 x + 5 y + z = 0 \end{cases}; s : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{0} = \frac{z - 3}{1}

a) Calcule el punto simétrico de

P (- 2, 1, 2)

respecto de

π

. [1,25 puntos]

b) Calcule el ángulo que forman

r

s

. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Rectas y Planos

En el espacio tridimensional tenemos las siguientes ecuaciones de rectas:

r : {\begin{cases} x + 2 y - 7 z = 0 \\ 2 x + 3 y - 12 z + 1 = 0 \end{cases}; s : {\begin{cases} 2 x - 7 y - 3 z = 22 \\ x - y + z = 1 \end{cases}

a) Estudie la posición relativa de

r

s

. [1,25 puntos]

b) Halle la ecuación del plano que contiene a

r

y es paralelo a

s

. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Distribución binomial

Según el estudio TALIS (2018), el 11 % de los docentes de Educación Secundaria en España son menores de 30 años.

a) Elegimos 15 docentes españoles, ¿qué probabilidad hay de que haya menos de 2 docentes menores de 30 años? [1 punto]

b) Supongamos que se seleccionan al azar 200 docentes españoles. ¿Qué probabilidad hay de que entre 20 y 30 docentes sean menores de 30 años? [1 punto]

c) En un grupo de 500 docentes españoles, ¿cuántos cabe esperar que sean mayores de 30 años? [0,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Distribución normal

Las estaturas de las personas que se presentan a una audición para participar en una película siguen una distribución normal de media 168 cm y desviación típica 8 cm.

a) Si se selecciona una persona participante en la audición, averigüe la probabilidad de que tenga una estatura mayor a 156 cm. [1 punto]

b) Se afirma que más del 15 % de los participantes en la audición medían más de 1,82 metros. Justifique la veracidad o falsedad de dicha afirmación. [0,75 puntos]

c) ¿Qué probabilidad hay de que, elegida una persona al azar, su estatura se encuentre entre 166 y 172 cm? [0,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8