Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2023

Halle la función polinómica $f(x)$ que verifica que tiene un punto mínimo en $M(1,2)$ y su segunda derivada es $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2x+3$. Dé la expresión de $f(x)$. [2,5 puntos]

Se conoce la segunda derivada de la función y un punto que es mínimo, así que el camino es integrar dos veces. Cada integración deja una constante, y las dos condiciones del enunciado —que la derivada primera se anula en el mínimo y que la gráfica pasa por $M$— son justo las que hacen falta para determinarlas.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2x+3\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=\int (2x+3)dx=x^2+3x+C$

En un extremo relativo la derivada primera se anula, de modo que $f^{\mathrm{\prime }}(1)=0$.

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=1^2+3\cdot 1+C=0\Rightarrow 4+C=0\Rightarrow C=-4$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x^2+3x-4$

$f(x)=\int (x^2+3x-4)dx={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}-4x+D$

La gráfica pasa por $M(1,2)$, luego $f(1)=2$.

${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}-4+D=2\Rightarrow D=2+4-{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{36-2-9}{6}}={\displaystyle \frac{25}{6}}$

Queda por comprobar que en $x=1$ hay efectivamente un mínimo y no otro tipo de extremo, lo que se decide con el signo de la segunda derivada.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=2\cdot 1+3=5>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo}$

La función polinómica pedida es $f(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}-4x+{\displaystyle \frac{25}{6}}$.