Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2020

Sean las funciones $f(x)=2x^4+a{x}^2+b$ y $g(x)=-2x^3+c$.

a) Calcule los valores $a$, $b$ y $c$ de manera que las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ cumplan las dos condiciones siguientes: que se corten en el punto $P(1,1)$ y que en dicho punto coincida la pendiente de las rectas tangentes. Dé las expresiones de las funciones resultantes. [1,5 puntos]

b) Suponiendo $a=b=1$ en $f(x)$, halle las asíntotas de la función $h(x)={\displaystyle \frac{f(x)}{x^3-1}}$. [1 punto]

Hay tres parámetros que determinar y el enunciado da tres condiciones: que cada gráfica pase por $P$ —dos condiciones— y que las derivadas coincidan en ese punto.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=8x^3+2ax,g^{\mathrm{\prime }}(x)=-6x^2$

De la condición sobre $g$ sale de inmediato uno de los parámetros:

$g(1)=1\Rightarrow -2+c=1\Rightarrow c=3$

La igualdad de pendientes da el segundo:

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=g^{\mathrm{\prime }}(1)\Rightarrow 8+2a=-6\Rightarrow 2a=-14\Rightarrow a=-7$

Y con $a$ ya conocido, el paso de $f$ por $P$ da el tercero:

$f(1)=1\Rightarrow 2+a+b=1\Rightarrow 2-7+b=1\Rightarrow b=6$

Las funciones resultantes son $f(x)=2x^4-7x^2+6$ y $g(x)=-2x^3+3$; en el punto $P(1,1)$ ambas valen 1 y sus tangentes tienen pendiente $-6$.



$h(x)={\displaystyle \frac{2x^4+x^2+1}{x^3-1}}$

Asíntotas verticales. Factorizando el denominador, $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, y el segundo factor no tiene raíces reales, así que la única candidata es $x=1$, donde el numerador vale $4\mathrm{\ne }0$.

${\lim }_{x\to 1^{-}}h(x)={\displaystyle \frac{4}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to 1^{+}}h(x)={\displaystyle \frac{4}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

$\Rightarrow x=1\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}$

Asíntotas horizontales. El grado del numerador supera al del denominador, de modo que el límite es infinito y no hay asíntota horizontal; como la diferencia de grados es exactamente 1, sí habrá oblicua.

Asíntota oblicua $y=mx+n$.

$m={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{h(x)}{x}}={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x^4+x^2+1}{x^4-x}}=2$

$n={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}[h(x)-2x]={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x^4+x^2+1-2x(x^3-1)}{x^3-1}}$

$={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x^3-1}}=0$

La función $h(x)$ tiene una asíntota vertical, $x=1$, y una asíntota oblicua, $y=2x$; no tiene asíntota horizontal.