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Examen de Matemáticas II de Islas Canarias 2024 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Islas Canarias, convocatoria extraordinaria de 2024. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Límites y continuidad

Se considera la función:

f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} - b x + 9}{x^{2} + 3}, & x \leq 0 \\ \frac{a x}{e^{x} - 1} + 2, & x > 0 \end{cases}

a) Estudie los valores de los parámetros

a

b

para que

f (x)

sea continua y derivable en

x = 0

. [1,75 puntos]

b) Para los valores

a = 1

b = - 2

, halle la ecuación de la recta tangente a la función

f (x)

x = - 1

. [0,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Integrales y Áreas

El ayuntamiento ha decidido crear una base metálica para una estatua del reconocido físico canario Blas Cabrera. Dicha base metálica estará delimitada por las parábolas

y = x (3 - x)

y = x^{2} - 7 x + 8

, donde la unidad de medida es el metro. Represente un esbozo de la base metálica y calcule el presupuesto de su construcción si el precio del metro cuadrado del material para construir la base metálica es de 65 €. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Sistemas de ecuaciones

Tres amigos, Aythami, Besay y Chamaida, deciden hacer un fondo común con el dinero que tienen para merendar. La razón (o cociente) entre la suma y la diferencia de las cantidades de dinero que ponen Aythami y Besay es

11 / 5

. La diferencia entre las cantidades aportadas por Aythami y Chamaida es el doble de lo que ha puesto Besay. Además, el doble de la suma de las cantidades que ponen Besay y Chamaida excede en 2 euros a la que aporta Aythami. Halle la cantidad de dinero que aporta cada uno. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Matrices

Dada la siguiente matriz:

M_{k} = (\begin{array}{ccc} k & 0 & k \\ 0 & k & 0 \\ 2 k - 3 & 0 & k \end{array})

, con

k \in R

.

a) Estudie el rango de la matriz

M_{k}

, dependiendo de los valores del parámetro

k

. [1,25 puntos]

b) Tomamos

M_{1}

como la matriz anterior para el valor

k = 1

, y

B = (\begin{array}{ccc} - 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{array})

. Halle la matriz

X

que satisface la ecuación

X \cdot M_{1} + X \cdot M_{1}^{T} = B

. [1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Rectas y Planos

En el espacio tridimensional tenemos las rectas siguientes:

r_{1} : {\begin{cases} x - 3 y + 2 z + 2 = 0 \\ 2 x + y - 3 z = 3 \end{cases}, r_{2} : \frac{1 - x}{2} = y = \frac{1 - z}{2}

a) Estudie la posición relativa de las rectas anteriores. [1 punto]

b) Halle la ecuación de la recta

s

que tiene dirección perpendicular a ambas rectas y que pasa por

P (0, \frac{1}{2}, 0)

. Calcule el punto de corte de la recta

s

con la recta

r_{1}

. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Rectas y Planos

Responda a las siguientes cuestiones:

a) Justifique si pueden existir vectores

\vec{u}

\vec{v}

, que comparten el punto de origen, y cumplen que

∣ \vec{u} ∣ = 2

∣ \vec{v} ∣ = 3

\vec{u} \cdot \vec{v} = 8

. [0,75 puntos]

b) En el espacio tridimensional, dados el plano y la recta secantes siguientes:

π : x + 3 y + 2 z + 3 = 0, r : {\begin{cases} 2 x - 3 y - z = 4 \\ x + y + 2 z = - 3 \end{cases}

calcule el punto de corte de la recta y el plano, así como el ángulo que forman. [1,75 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Probabilidad

Cierta enfermedad puede ser producida por tres tipos de virus A, B, C. En un laboratorio se tienen tres tubos con el virus A, dos con el B y cinco con el C. La probabilidad de que el virus A produzca la enfermedad es

1 / 3

, que la produzca B es

2 / 3

y que la produzca C es

1 / 7

.

a) Se elige uno de los tubos anteriores al azar y se inocula el virus contenido en el tubo a un animal, ¿cuál es la probabilidad de que al animal le produzca la enfermedad? [1,5 puntos]

b) Si se inocula un virus de los anteriores a un animal y no le produce la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que se haya inyectado el virus C? [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Distribución binomial

El delantero de un equipo de fútbol suele marcar gol en tres de cada cinco penaltis lanzados. Sabemos que realiza 70 lanzamientos en cada entrenamiento.

a) Calcule la probabilidad de marcar entre 40 y 45 penaltis en un entrenamiento. [1,25 puntos]

b) Si la probabilidad de que marque más de la mitad de los penaltis es superior al 90 %, se seleccionará para jugar en una categoría superior. ¿Será seleccionado este delantero? Justifique la respuesta. [0,75 puntos]

c) Si en una temporada lanza 450 penaltis, calcule el número de penaltis que se espera que haya marcado este jugador durante una temporada. [0,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8