Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Se considera la función:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^2-bx+9}{x^2+3}},& x\le 0\\ {\displaystyle \frac{ax}{e^x-1}}+2,& x>0\end{array}$

a) Estudie los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que $f(x)$ sea continua y derivable en $x=0$. [1,75 puntos]

b) Para los valores $a=1$ y $b=-2$, halle la ecuación de la recta tangente a la función $f(x)$ en $x=-1$. [0,75 puntos]

Primero se impone la continuidad, que determina $a$, y después la derivabilidad, que determina $b$. El orden importa: sin continuidad no hay derivabilidad posible.

Para la continuidad en $x=0$ hay que comparar el valor de la función con sus dos límites laterales.

$f(0)={\displaystyle \frac{0-0+9}{0+3}}={\displaystyle \frac{9}{3}}=3$

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}{\displaystyle \frac{x^2-bx+9}{x^2+3}}=3$

El límite por la derecha presenta una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ en la fracción, que se resuelve por la regla de L'Hôpital.



$a+2=3\Rightarrow a=1$

Para la derivabilidad se calculan las derivadas laterales y se obliga a que coincidan. Por la izquierda, derivando el cociente de polinomios:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(2x-b)(x^2+3)-(x^2-bx+9)\cdot 2x}{{(x^2+3)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(0^{-})={\displaystyle \frac{(-b)\cdot 3-9\cdot 0}{3^2}}={\displaystyle \frac{-3b}{9}}=-{\displaystyle \frac{b}{3}}$

Por la derecha, ya con $a=1$:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(e^x-1)-x{e}^x}{{(e^x-1)}^2}}$

De nuevo aparece una indeterminación $\frac{0}{0}$ al hacer tender $x$ a cero, y hay que aplicar L'Hôpital dos veces.





$-{\displaystyle \frac{b}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\Rightarrow b={\displaystyle \frac{3}{2}}$

Para que la función sea continua y derivable en $x=0$ los parámetros deben valer $a=1$ y $b={\displaystyle \frac{3}{2}}$.



La abscisa $x=-1$ es negativa, de modo que solo interviene la primera rama de la función y el valor de $a$ no influye en el resultado.

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2+2x+9}{x^2+3}}$

La recta tangente en un punto es $y-f(x_0)=f^{\mathrm{\prime }}(x_0)(x-x_0)$, así que hacen falta el valor de la función y el de su derivada en $x_0=-1$.

$f(-1)={\displaystyle \frac{1-2+9}{1+3}}={\displaystyle \frac{8}{4}}=2$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(2x+2)(x^2+3)-(x^2+2x+9)\cdot 2x}{{(x^2+3)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)={\displaystyle \frac{0\cdot 4-8\cdot (-2)}{4^2}}={\displaystyle \frac{16}{16}}=1$

$y-2=1\cdot (x-(-1))\Rightarrow y=x+3$

La recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=-1$ es $y=x+3$.