Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule el valor de $a\in \mathbb{R}$ para que la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x\cdot e^x-\mathrm{sen}x}{x^2}}& \text{si }x\mathrm{\ne }0\\ a& \text{si }x=0\end{array}$

sea continua en $x=0$. [2 puntos]

La función es continua en $x=0$ cuando existe el límite en ese punto y coincide con el valor que toma allí, es decir, cuando

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{x{e}^x-\mathrm{sen}x}{x^2}}=f(0)=a$

Calculamos el límite. Al sustituir aparece una indeterminación:

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{x{e}^x-\mathrm{sen}x}{x^2}}={\displaystyle \frac{0-0}{0}}={\displaystyle \frac{0}{0}}$

Aplicamos la regla de L'Hôpital, derivando por separado numerador y denominador:

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{e^x+x{e}^x-\cos x}{2x}}={\displaystyle \frac{1+0-1}{0}}={\displaystyle \frac{0}{0}}$

Sigue siendo indeterminado, de modo que volvemos a aplicarla:

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{2e^x+x{e}^x+\mathrm{sen}x}{2}}={\displaystyle \frac{2+0+0}{2}}=1$

Para que la función sea continua en $x=0$ el valor del parámetro debe ser $a=1$.