Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

a) Compruebe que hay alguna solución positiva y alguna negativa de la ecuación $x\cdot \cos (2x)=x^2-1$. [1,5 puntos]

b) Aproxime la solución positiva encontrada con un error menor que una décima. [0,5 puntos]

Pasamos todo a un miembro y llamamos $h$ a la función que resulta, para que resolver la ecuación sea buscar los ceros de $h$.

$h(x)=x\cos (2x)-x^2+1$

La función $h$ es continua en todo $\mathbb{R}$ por ser suma y producto de funciones continuas: un polinomio y un coseno. Podemos entonces aplicar el teorema de Bolzano en cualquier intervalo en cuyos extremos $h$ cambie de signo.



Para la solución negativa tomamos el intervalo $[-2,-1]$:

$h(-2)=-2\cos (-4)-4+1=\mathrm{1,3073}-3=-\mathrm{1,6927}<0$

$h(-1)=-\cos (-2)-1+1=\mathrm{0,4161}>0$

Como $h$ es continua en $[-2,-1]$ y toma signos distintos en sus extremos, por el teorema de Bolzano existe al menos un $c\in (-2,-1)$ con $h(c)=0$.

Para la solución positiva tomamos el intervalo $[0,1]$:

$h(0)=0-0+1=1>0$

$h(1)=\cos (2)-1+1=-\mathrm{0,4161}<0$

De nuevo por el teorema de Bolzano existe al menos un $c\in (0,1)$ con $h(c)=0$.

La ecuación tiene, por tanto, al menos una solución negativa en $(-2,-1)$ y al menos una positiva en $(0,1)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Aproxime}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{positiva}}\mathbf{\text{encontrada}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cima.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos el método de bisección: partimos por la mitad el intervalo y nos quedamos con la mitad en la que $h$ sigue cambiando de signo, hasta que su longitud baje de una décima.

$h(\mathrm{0,5})=\mathrm{1,0202}>0\Rightarrow \text{la ra}\acute{\text{ı}}\text{z est}\acute{\text{a}}\text{ en }(\mathrm{0,5};1)$

$h(\mathrm{0,75})=\mathrm{0,4906}>0\Rightarrow \text{la ra}\acute{\text{ı}}\text{z est}\acute{\text{a}}\text{ en }(\mathrm{0,75};1)$

$h(\mathrm{0,875})=\mathrm{0,0784}>0\Rightarrow \text{la ra}\acute{\text{ı}}\text{z est}\acute{\text{a}}\text{ en }(\mathrm{0,875};1)$

$h(\mathrm{0,9375})=-\mathrm{0,1597}<0\Rightarrow \text{la ra}\acute{\text{ı}}\text{z est}\acute{\text{a}}\text{ en }(\mathrm{0,875};\mathrm{0,9375})$

Ese último intervalo mide $\mathrm{0,0625}$, menos de una décima, de modo que cualquiera de sus puntos aproxima la raíz con el error pedido.

La solución positiva de la ecuación es, aproximadamente, $x\approx \mathrm{0,9}$ con un error menor que una décima.