Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Considere la función $f(x)$, donde $a\in \mathbb{R}$, dada por

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1-e^x}{x}}& \text{si }x\mathrm{\ne }0\\ a& \text{si }x=0\end{array}$

a) Calcule el valor de $a$ para que la función sea continua. [1 punto]

b) Calcule la ecuación de la recta tangente en $x=1$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{continua.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Para $x\mathrm{\ne }0$ la función es cociente de funciones continuas con denominador no nulo, luego es continua. El único punto que hay que estudiar es $x=0$, donde será continua si el límite coincide con el valor que toma allí.

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{1-e^x}{x}}={\displaystyle \frac{1-1}{0}}={\displaystyle \frac{0}{0}}$

Aplicamos la regla de L'Hôpital, derivando por separado numerador y denominador:

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{-e^x}{1}}=-1$

Para que la función sea continua en $x=0$ —y, por tanto, en todo $\mathbb{R}$— debe ser $a=-1$.



La recta tangente en un punto tiene por pendiente el valor de la derivada, así que necesitamos $f(1)$ y $f^{\mathrm{\prime }}(1)$. Como $1\mathrm{\ne }0$, usamos la primera rama de la función.

$f(1)={\displaystyle \frac{1-e^1}{1}}=1-e$

Derivamos por la regla del cociente:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-e^x\cdot x-(1-e^x)}{x^2}}={\displaystyle \frac{-x{e}^x+e^x-1}{x^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{-e+e-1}{1}}=-1$

La ecuación punto-pendiente de la recta tangente es:

$y-f(1)=f^{\mathrm{\prime }}(1)(x-1)\Rightarrow y-(1-e)=-1(x-1)$

$y=-x+1+1-e\Rightarrow y=-x+2-e$

La recta tangente a la gráfica en $x=1$ es $y=-x+2-e$, es decir, una recta de pendiente $-1$.