Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Considere la función continua $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por

$f(x)=\{\begin{array}{ll}(3x-6)e^x& \text{si }x\le 0\\ {\displaystyle \frac{36(\mathrm{sen}(x)-ax)}{x^3}}& \text{si }x>0\end{array}$

a) Calcule $a$. [1,5 puntos]

b) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x=-1$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Cada rama es continua en el interior de su intervalo, así que la única condición que impone el enunciado es la continuidad en $x=0$, donde cambia la definición. El valor de la función lo da la primera rama.

$f(0)=(3\cdot 0-6)e^0=-6$

El límite por la derecha presenta la indeterminación $\frac{0}{0}$. Aplicamos la regla de L'Hôpital:

${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{36(\mathrm{sen}(x)-ax)}{x^3}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{36(\cos (x)-a)}{3x^2}}}$

El denominador tiende a $0$, así que el límite solo puede ser finito si el numerador también lo hace:

$36(\cos (0)-a)=36(1-a)=0\Rightarrow a=1$

Con ese valor seguimos aplicando L'Hôpital hasta deshacer la indeterminación:

${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{36(\cos (x)-1)}{3x^2}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{-36\mathrm{sen}(x)}{6x}}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{-36\cos (x)}{6}}=-6}$

El límite por la derecha coincide con $f(0)$, luego la función es continua.

El valor pedido es $a=1$.



La abscisa $x=-1$ cae en la primera rama, así que derivamos $(3x-6)e^x$ con la regla del producto.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3e^x+(3x-6)e^x=e^x(3x-3)$

Evaluamos la función y su derivada en el punto:

$f(-1)=(-3-6)e^{-1}=-{\displaystyle \frac{9}{e}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=e^{-1}(-3-3)=-{\displaystyle \frac{6}{e}}$

Escribimos la ecuación punto-pendiente:

$y+{\displaystyle \frac{9}{e}}=-{\displaystyle \frac{6}{e}}(x+1)$

$y=-{\displaystyle \frac{6x}{e}}-{\displaystyle \frac{6}{e}}-{\displaystyle \frac{9}{e}}$

La recta tangente en $x=-1$ es $y=-{\displaystyle \frac{6x+15}{e}}$.