Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

a) [1 punto] Calcule razonadamente el siguiente límite: ${\lim }_{x\to 2}{\displaystyle \frac{e^{x-2}-1}{2x-4}}$.

b) [1,5 puntos] Dada la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-2& \text{si }x<1\\ {\displaystyle \frac{2x-1}{x-2}}& \text{si }1\le x\le 3\\ 2e^x& \text{si }x>3\end{array}$

determine razonadamente su dominio y estudie su continuidad. En los puntos en los que no lo sea indique razonadamente el tipo de discontinuidad.

Al sustituir aparece la indeterminación $\frac{0}{0}$, así que aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.



El límite vale ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Dada}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$



$\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{estudie}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{continuidad.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{indique}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{discontinuidad.}}$

Cada rama es continua donde está definida: la primera es un polinomio, la tercera una exponencial y la segunda una función racional, que solo falla donde se anula su denominador.

$x-2=0\Rightarrow x=2$

Como $2$ pertenece al tramo $1\le x\le 3$, queda fuera del dominio.

$\text{Dom}f=\mathbb{R}-\{2\}$

Los puntos que hay que estudiar son los dos empalmes, $x=1$ y $x=3$, y el punto conflictivo $x=2$.

En $x=1$:

${\lim }_{x\to 1^{-}}(x^2-2)=-1,f(1)={\lim }_{x\to 1^{+}}{\displaystyle \frac{2x-1}{x-2}}={\displaystyle \frac{1}{-1}}=-1$

Los dos límites laterales coinciden con el valor de la función, luego $f$ es continua en $x=1$.

En $x=2$ el denominador se anula sin anularse el numerador:

${\lim }_{x\to 2^{-}}{\displaystyle \frac{2x-1}{x-2}}={\displaystyle \frac{3}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to 2^{+}}{\displaystyle \frac{2x-1}{x-2}}={\displaystyle \frac{3}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

En $x=3$:

$f(3)={\displaystyle \frac{6-1}{3-2}}=5,{\lim }_{x\to 3^{+}}2e^x=2e^3\approx \mathrm{40,1711}$

La función es continua en $\mathbb{R}-\{2,3\}$. En $x=2$ presenta una discontinuidad de salto infinito, con asíntota vertical, y en $x=3$ una discontinuidad de salto finito, de salto $2e^3-5\approx \mathrm{35,1711}$.