Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

a) [1 punto] Calcule razonadamente el siguiente límite: ${\lim }_{x\to 1}{\displaystyle \frac{x-1}{e^{x-1}-1}}$.

b) [1,5 puntos] Dada la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^x& \text{si }x<0\\ {\displaystyle \frac{1}{x-1}}& \text{si }0\le x\le 2\\ x& \text{si }x>2\end{array}$

estudie su continuidad en $x=0$ y en $x=2$ e indique el tipo de discontinuidad, si la hubiera.

Al sustituir aparece la indeterminación $\frac{0}{0}$, así que aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador.



El límite vale $1$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Dada}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$





Cada rama es continua donde está definida: la primera es una exponencial, la tercera un polinomio y la segunda una función racional, que solo falla en $x=1$. Estudiamos los dos puntos que pide el enunciado.

En $x=0$ calculamos los límites laterales y el valor de la función.

${\lim }_{x\to 0^{-}}{e}^x=e^0=1$

$f(0)={\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{1}{x-1}}={\displaystyle \frac{1}{-1}}=-1$

Los dos límites laterales son finitos pero distintos, de modo que en $x=0$ hay una discontinuidad de salto finito, de salto $-1-1=-2$.

En $x=2$ procedemos igual.

$f(2)={\lim }_{x\to 2^{-}}{\displaystyle \frac{1}{x-1}}={\displaystyle \frac{1}{1}}=1$

${\lim }_{x\to 2^{+}}x=2$

De nuevo los límites laterales son finitos y distintos: en $x=2$ hay una discontinuidad de salto finito, de salto $2-1=1$.

La función presenta discontinuidades de salto finito en $x=0$ y en $x=2$. Conviene observar además que $x=1$ no pertenece al dominio, ya que anula el denominador de la rama central.