Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

a) [1 punto] Calcule razonadamente el siguiente límite: ${\lim }_{x\to 0^{+}}({\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}(2x)}})$.

b) [1,5 puntos] Dada la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^{(x-1)}& \text{si }x\le 1\\ x-2& \text{si }1<x<2\\ \ln (x-1)& \text{si }x\ge 2\end{array}$

donde ln es el logaritmo neperiano, estudie la continuidad de la función $f(x)$ en $x=1$ y en $x=2$, y clasifique el tipo de discontinuidad si las hubiera.

Los dos sumandos tienden a $+\mathrm{\infty }$, de modo que aparece la indeterminación $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$. La deshacemos poniendo denominador común, que la convierte en una del tipo $\frac{0}{0}$.

${\lim }_{x\to 0^{+}}({\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}(2x)}})={\lim }_{x\to 0^{+}}{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}(2x)-x}{x\mathrm{sen}(2x)}}=\left({\displaystyle \frac{0}{0}}\right)$

Aplicamos la regla de L'Hôpital.



El denominador tiende a cero por valores positivos, ya que para $x\to 0^{+}$ tanto $\mathrm{sen}(2x)$ como $2x\cos (2x)$ son positivos.

El límite vale $+\mathrm{\infty }$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Dada}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}$





Cada rama es continua donde está definida: la primera es una exponencial, la segunda un polinomio y la tercera un logaritmo, que exige $x-1>0$, es decir, $x>1$, cosa que se cumple en todo su tramo. Solo hay que estudiar los dos empalmes.

En $x=1$:

$f(1)={\lim }_{x\to 1^{-}}{2}^{x-1}=2^0=1$

${\lim }_{x\to 1^{+}}(x-2)=1-2=-1$

Los dos límites laterales son finitos pero distintos, luego no existe el límite en $x=1$.

En $x=2$:

${\lim }_{x\to 2^{-}}(x-2)=0$

$f(2)={\lim }_{x\to 2^{+}}\ln (x-1)=\ln 1=0$

Los dos límites laterales coinciden con el valor de la función.

La función es continua en $x=2$ y discontinua en $x=1$, donde presenta una discontinuidad de salto finito, de salto $-1-1=-2$.