Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Dada la función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{3}{x-2}}& \text{si }x<2\\ \cos (\pi x)& \text{si }2\le x\le 3\\ {\displaystyle \frac{\ln (x-2)}{3-x}}& \text{si }x>3\end{array}$

a) [1,5 puntos] Determine razonadamente los puntos en los que la función es continua, calcule los puntos en los que es discontinua y clasifique el tipo de discontinuidad, si los hubiera.

b) [1 punto] Calcule razonadamente el siguiente límite: ${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{x{e}^{-x}}{1+2x-\cos (x^2)}}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{continua,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{discontinua}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{clasifique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{discontinuidad,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{hubiera.}}$

Cada rama es continua donde está definida: la primera es una función racional que solo falla en $x=2$, valor que no pertenece a su tramo; la segunda es un coseno; y la tercera es un cociente de funciones continuas cuyo denominador se anula en $x=3$, valor que tampoco pertenece a su tramo, y cuyo logaritmo exige $x>2$, lo que se cumple en todo el tramo. Solo hay que estudiar los dos empalmes, $x=2$ y $x=3$.

En $x=2$:

${\lim }_{x\to 2^{-}}{\displaystyle \frac{3}{x-2}}={\displaystyle \frac{3}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty }$

$f(2)={\lim }_{x\to 2^{+}}\cos (\pi x)=\cos (2\pi )=1$

El límite por la izquierda es infinito, de modo que la función tiene ahí una asíntota vertical.

En $x=3$:

$f(3)={\lim }_{x\to 3^{-}}\cos (\pi x)=\cos (3\pi )=-1$



Los dos límites laterales coinciden con el valor de la función, luego $f$ es continua en $x=3$.

La función es continua en $\mathbb{R}-\{2\}$ y presenta en $x=2$ una discontinuidad de salto infinito, con asíntota vertical por la izquierda.



Al sustituir, el numerador vale $0$ y el denominador $1+0-1=0$: estamos ante una indeterminación $\frac{0}{0}$. Aplicamos la regla de L'Hôpital.



Ahora la sustitución ya no da indeterminación.

$={\displaystyle \frac{1-0}{2+0}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

El límite vale ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.