Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule $a$ y $b$ sabiendo que ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{a(1-\cos (x))+b\mathrm{sen}(x)-2(e^x-1)}{x^2}}=7}$. [2,5 puntos]

Al sustituir aparece la indeterminación $\frac{0}{0}$, así que aplicamos la regla de L'Hôpital. El denominador de la primera derivada seguirá tendiendo a cero, de modo que el numerador también tendrá que hacerlo para que el límite sea finito: esa condición es la que fija uno de los dos parámetros.

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{a\mathrm{sen}(x)+b\cos (x)-2e^x}{2x}}}$

Imponemos que el numerador se anule en $x=0$:

$a\cdot 0+b\cdot 1-2\cdot 1=b-2=0\Rightarrow b=2$

Se descarta cualquier otro valor de $b$, porque entonces el cociente tendería a infinito y no podría valer $7$. Volvemos a aplicar L'Hôpital con $b=2$:

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{a\cos (x)-2\mathrm{sen}(x)-2e^x}{2}}={\displaystyle \frac{a-0-2}{2}}={\displaystyle \frac{a-2}{2}}}$

Igualamos al valor del enunciado:

${\displaystyle \frac{a-2}{2}}=7\Rightarrow a-2=14\Rightarrow a=16$

Los valores pedidos son $a=16$ y $b=2$.