Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Sea la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{e^x-1-x}{x^2}}& \text{si }x\mathrm{\ne }0\\ a& \text{si }x=0\end{array}$, con $a\in \mathbb{R}$.

a) Estudie la continuidad de la función $f(x)$ para $x\mathrm{\ne }0$. [0,5 puntos]

b) Calcule el valor de $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en $x=0$. [1,5 puntos]

Para $x\mathrm{\ne }0$ la función es el cociente de $e^x-1-x$ entre $x^2$. El numerador es continuo en todo $\mathbb{R}$, por ser suma de una exponencial y un polinomio, y el denominador también; además el denominador solo se anula en $x=0$, que queda excluido.

Un cociente de funciones continuas es continuo allí donde el denominador no se anula, luego $f$ es continua en $\mathbb{R}-\{0\}$ sea cual sea el valor de $a$.



La función será continua en $x=0$ cuando el límite en ese punto exista y coincida con el valor que toma allí, es decir, cuando

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{e^x-1-x}{x^2}}=f(0)=a$

Al sustituir aparece una indeterminación:

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{e^x-1-x}{x^2}}={\displaystyle \frac{1-1-0}{0}}={\displaystyle \frac{0}{0}}$

Aplicamos la regla de L'Hôpital, derivando por separado numerador y denominador:

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{e^x-1}{2x}}={\displaystyle \frac{1-1}{0}}={\displaystyle \frac{0}{0}}$

Sigue siendo indeterminado, así que volvemos a aplicarla:

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{e^x}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Para que la función sea continua en $x=0$ —y, con el apartado anterior, en todo $\mathbb{R}$— el valor del parámetro debe ser $a=\frac{1}{2}$.