Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Dada la función:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}(x-1{)}^2+bx& \text{si }x<1\\ a+\ln x& \text{si }x\ge 1\end{array}$

a) Estudie los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua y derivable en $\mathbb{R}$. Escriba la función resultante $f(x)$. [1,5 puntos]

b) Tomando los valores $a=-2$ y $b=1$, calcule la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en $x=e$. [1 punto]

Cada rama es continua y derivable en su intervalo: la primera es un polinomio y la segunda un logaritmo con argumento positivo, ya que $x\ge 1$. El único punto conflictivo es el de empalme, $x=1$, y allí se impone primero la continuidad y después la derivabilidad.

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}[(x-1{)}^2+bx]=0+b=b$

${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)=a+\ln 1=a$

$b=a$

Para la derivabilidad se calculan las derivadas laterales y se obliga a que coincidan.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}2(x-1)+b& \text{si }x<1\\ {\displaystyle \frac{1}{x}}& \text{si }x>1\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}(1^{-})=2(1-1)+b=b,f^{\mathrm{\prime }}(1^{+})={\displaystyle \frac{1}{1}}=1$

$b=1\Rightarrow a=1$

Con esos valores la función es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}(x-1{)}^2+x& \text{si }x<1\\ 1+\ln x& \text{si }x\ge 1\end{array}$



Como $e\approx \mathrm{2,72}>1$, el punto de tangencia cae en la segunda rama y el valor de $b$ no interviene.

$f(x)=-2+\ln x$

La recta tangente en un punto es $y-f(x_0)=f^{\mathrm{\prime }}(x_0)(x-x_0)$, así que hacen falta el valor de la función y el de su derivada en $x_0=e$.

$f(e)=-2+\ln e=-2+1=-1$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(e)={\displaystyle \frac{1}{e}}$

$y-(-1)={\displaystyle \frac{1}{e}}(x-e)\Rightarrow y+1={\displaystyle \frac{x}{e}}-1$

La recta tangente a la gráfica de $f$ en $x=e$ es $y={\displaystyle \frac{x}{e}}-2$.