Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

Cierta enfermedad puede ser producida por tres tipos de virus A, B, C. En un laboratorio se tienen tres tubos con el virus A, dos con el B y cinco con el C. La probabilidad de que el virus A produzca la enfermedad es $1\mathrm{/}3$, que la produzca B es $2\mathrm{/}3$ y que la produzca C es $1\mathrm{/}7$.

a) Se elige uno de los tubos anteriores al azar y se inocula el virus contenido en el tubo a un animal, ¿cuál es la probabilidad de que al animal le produzca la enfermedad? [1,5 puntos]

b) Si se inocula un virus de los anteriores a un animal y no le produce la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que se haya inyectado el virus C? [1 punto]

Nombrando los sucesos:

$A\equiv$ el tubo elegido contiene el virus A

$B\equiv$ el tubo elegido contiene el virus B

$C\equiv$ el tubo elegido contiene el virus C

$E\equiv$ el animal contrae la enfermedad

En el laboratorio hay $3+2+5=10$ tubos y la elección es al azar, de modo que:

$P(A)={\displaystyle \frac{3}{10}},P(B)={\displaystyle \frac{2}{10}},P(C)={\displaystyle \frac{5}{10}}$

El árbol del problema es:



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{elige}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{tubos}}\mathbf{\text{anteriores}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{inocula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{virus}}\mathbf{\text{contenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tubo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{animal,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{animal}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{produzca}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{enfermedad?}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los tres tipos de virus forman un sistema completo de sucesos, así que se aplica el teorema de la probabilidad total: se suman las tres ramas del árbol que terminan en $E$.

$P(E)=P(A)\cdot P(E\mathrm{\mid }A)+P(B)\cdot P(E\mathrm{\mid }B)+P(C)\cdot P(E\mathrm{\mid }C)$

$={\displaystyle \frac{3}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{5}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{7}}={\displaystyle \frac{1}{10}}+{\displaystyle \frac{2}{15}}+{\displaystyle \frac{1}{14}}$

$={\displaystyle \frac{21}{210}}+{\displaystyle \frac{28}{210}}+{\displaystyle \frac{15}{210}}={\displaystyle \frac{64}{210}}={\displaystyle \frac{32}{105}}\approx \mathrm{0,3048}$

La probabilidad de que el virus inoculado produzca la enfermedad es ${\displaystyle \frac{32}{105}}\approx \mathrm{0,3048}$, es decir, un $\mathrm{30,48}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{inocula}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{virus}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{anteriores}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{animal}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{enfermedad,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{inyectado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{virus}}\mathbf{\text{C?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Ahora se conoce el resultado del experimento y se pregunta por la causa, de modo que se aplica el teorema de Bayes. En el denominador va la probabilidad de no enfermar, que es la complementaria de la calculada en el apartado anterior.

$P\left(\bar{E}\right)=1-P(E)=1-{\displaystyle \frac{32}{105}}={\displaystyle \frac{73}{105}}$

$P(C\cap \bar{E})=P(C)\cdot P\left(\bar{E}\mathrm{\mid }C\right)={\displaystyle \frac{5}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{7}}={\displaystyle \frac{3}{7}}$

$P\left(C\mathrm{\mid }\bar{E}\right)={\displaystyle \frac{P(C\cap \bar{E})}{P\left(\bar{E}\right)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{7}}}{{\displaystyle \frac{73}{105}}}}={\displaystyle \frac{3}{7}}\cdot {\displaystyle \frac{105}{73}}={\displaystyle \frac{45}{73}}\approx \mathrm{0,6164}$

Si el animal no ha contraído la enfermedad, la probabilidad de que se le hubiera inyectado el virus C es ${\displaystyle \frac{45}{73}}\approx \mathrm{0,6164}$, esto es, un $\mathrm{61,64}\mathrm{\%}$. El resultado es alto porque C es a la vez el virus más abundante en el laboratorio y el menos contagioso de los tres.