Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

Aythami tiene un sobre donde guarda el dinero que ha podido reunir; el sobre contiene 4 billetes de 5 €, 6 billetes de 10 € y 2 billetes de 50 €. Quiere comprar algunas cosas y decide dejar al azar cuánto dinero va a coger del sobre. Para ello, saca aleatoriamente, sin reemplazamiento y de forma consecutiva, dos billetes del sobre.

a) Exprese el espacio muestral del experimento que va a realizar Aythami. [0,5 puntos]

b) Si se quiere comprar un videojuego que cuesta 57 €, ¿qué probabilidad hay de que pueda hacerlo con los billetes que saca del sobre? [1 punto]

c) Si al final obtiene, con este experimento, 60 € del sobre, ¿qué probabilidad hay de que el primer billete fuera de 10 €? [1 punto]

En el sobre hay $4+6+2=12$ billetes y se extraen dos, uno tras otro y sin devolver el primero. Nombrando los sucesos por el valor del billete que sale en cada extracción, las probabilidades de la primera son:

$P(5)={\displaystyle \frac{4}{12}},P(10)={\displaystyle \frac{6}{12}},P(50)={\displaystyle \frac{2}{12}}$

y en la segunda quedan 11 billetes, uno menos del valor que haya salido antes. El árbol del problema es:



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Exprese}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{espacio}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{experimento}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{va}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{realizar}}\mathbf{\text{Aythami.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los billetes se sacan de forma consecutiva, así que cada resultado es un par ordenado formado por el valor del primer billete y el del segundo. Con tres valores posibles en cada extracción salen nueve resultados:

$E=\{(5,5),(5,10),(5,50),(10,5),(10,10),(10,50),(50,5),(50,10),(50,50)\}$

Las cantidades de dinero que puede llegar a coger son, respectivamente, 10, 15, 55, 15, 20, 60, 55, 60 y 100 euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{quiere}}\mathbf{\text{comprar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{videojuego}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cuesta}}\mathbf{\text{57}}\mathbf{\text{€,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pueda}}\mathbf{\text{hacerlo}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{billetes}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{saca}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sobre?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Podrá comprar el videojuego si la suma de los dos billetes llega a 57 €. Repasando la lista anterior, los únicos resultados que lo consiguen son los que suman 60 € y el que suma 100 €; los tres son incompatibles entre sí, de modo que sus probabilidades se suman.

$P(10,50)={\displaystyle \frac{6}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{11}}={\displaystyle \frac{12}{132}}$

$P(50,10)={\displaystyle \frac{2}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{11}}={\displaystyle \frac{12}{132}}$

$P(50,50)={\displaystyle \frac{2}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{11}}={\displaystyle \frac{2}{132}}$

$P(\text{suma}\ge 57)={\displaystyle \frac{12}{132}}+{\displaystyle \frac{12}{132}}+{\displaystyle \frac{2}{132}}={\displaystyle \frac{26}{132}}={\displaystyle \frac{13}{66}}\approx \mathrm{0,1970}$

La probabilidad de que Aythami pueda comprar el videojuego es ${\displaystyle \frac{13}{66}}\approx \mathrm{0,1970}$, es decir, un $\mathrm{19,70}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{final}}\mathbf{\text{obtiene,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{experimento,}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{€}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sobre,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{billete}}\mathbf{\text{fuera}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{€?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se conoce el resultado final y se pregunta por lo ocurrido en la primera etapa, así que se aplica el teorema de Bayes. Los 60 € solo se alcanzan de dos maneras, y en el numerador va únicamente la que empieza por el billete de 10 €.

$P(\text{suma}=60)=P(10,50)+P(50,10)={\displaystyle \frac{12}{132}}+{\displaystyle \frac{12}{132}}={\displaystyle \frac{24}{132}}={\displaystyle \frac{2}{11}}$

$P(\text{1.}\text{\hspace{0.17em}⁣}\text{º}=10\mathrm{\mid }\text{suma}=60)={\displaystyle \frac{P(10,50)}{P(\text{suma}=60)}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{12}{132}}}{{\displaystyle \frac{24}{132}}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Sabiendo que ha sacado 60 €, la probabilidad de que el primer billete fuera de 10 € es ${\displaystyle \frac{1}{2}}$, es decir, un $50\mathrm{\%}$. El resultado es razonable: las dos únicas formas de reunir 60 € son igual de probables, porque llevan los mismos dos billetes en distinto orden.