Examen de Matemáticas II de Islas Canarias 2026 (convocatoria ordinaria)

Tras la erupción del volcán Tajogaite (La Palma, 2021) un equipo de ingenieros ha desarrollado un prototipo de barredora marítima para recoger la ceniza que llega al mar, con una capacidad de $0.5k{m}^2\mathrm{/}hora$. Para la construcción del prototipo, se ha modelizado mediante $f(t)$ la superficie afectada por la mancha de ceniza en $k{m}^2$, siendo $t$ los días transcurridos desde que comienzan la monitorización de la mancha marítima.

$f(t)={\displaystyle \frac{10t+5}{2t^2+4}}+5$

a) Estudiar el crecimiento y decrecimiento del modelo propuesto. ¿Existe algún valor extremo en el modelo? En caso afirmativo, ¿cuál es el tamaño de la mancha de ceniza en ese punto? [1 punto]

b) Un técnico del equipo afirma que no hará falta la intervención de medios de limpieza ya que pasado un tiempo la mancha desaparecerá. ¿Es cierta esta afirmación? Justificar la respuesta. [0,5 puntos]

c) La barredora se pone en funcionamiento el cuatro día después de comenzar a monitorizar la mancha. Si la superficie de la mancha no recibiera más ceniza y se mantuviera constante a partir de ese día, ¿cuánto tiempo tardaría la barredora en eliminar la mancha de ceniza? [0,5 puntos]

Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$

Hallar dos matrices cuadradas de dimensión 3 tales que al sumar la primera con el doble de la segunda se obtiene la matriz $A$. Y, si se le resta a la primera el doble de la segunda se obtiene la inversa de $A$. [2 puntos]

En el espacio tridimensional se conocen el siguiente plano y punto:

$\pi :2x+3y=0;P(1,-5,1)$

a) Hallar la recta $r$ perpendicular al plano $\pi$ que pasa por el punto $P$. [0,5 puntos]

b) Estudiar la posición relativa de la recta $s:\{\begin{array}{l}-x+3y-3z=-3\\ 4x+9y-2z=-2\end{array}$ con el plano $\pi$. [1,5 puntos]

Calcular la siguiente integral definida:

${\displaystyle {\int }_1^{2}x{e}^{x}dx}$ [2 puntos]

Dada la siguiente función $f(x)$:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}1+{\displaystyle \frac{a}{x-2}},& x<1\\ a+{\displaystyle \frac{b}{\sqrt{x}}},& x\ge 1\end{array}$, con $ayb\in \mathbb{R}$

Estudiar para qué valores de $a$ y $b$ la función $f(x)$ es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$. Dar la expresión de la función resultante. [2 puntos]

Un reciente estudio de bienestar tecnológico ha analizado el tiempo total diario (en minutos) que los estudiantes de 2º de Bachillerato utilizan auriculares. Se asume que este tiempo diario de uso se puede modelizar mediante una variable aleatoria con distribución normal, de media 74 minutos y desviación típica de 20 minutos. El Servicio Canario de la Salud considera que los jóvenes hacen un "uso moderado" de los auriculares cuando lo utilizan menos de 50 minutos diarios.

a) Si a la actual convocatoria de la PAU se presentan 4000 estudiantes, estimar cuántos de ellos utilizan auriculares entre 70 y 80 minutos diarios. [1,25 puntos]

b) Determina el porcentaje de estudiantes que se presentaron a la PAU que hacen un "uso moderado" de los auriculares. [0,75 puntos]

El área de Medio Ambiente del Cabildo ha diseñado un plan de reforestación para las zonas de cumbre afectadas por incendios. El plan incluye una técnica innovadora que garantiza que tres de cada cinco semillas de pino canario germinan y sobrevive el primer año. Para validar la eficacia de esta técnica, se han plantado 150 semillas en una parcela experimental. Se supone que la supervivencia de la semilla es independiente del resto.

a) Calcular la probabilidad de que, en la parcela experimental, germinen y sobrevivan entre 82 y 94 semillas el primer año. [1,25 puntos]

b) Los técnicos del Cabildo han decidido que, si tras el primer año de estudio de la parcela experimental, germinan y sobreviven más de 80 semillas con una probabilidad superior al 90%, se incorporará esta técnica innovadora al plan de reforestación. En base a los datos, ¿incluirán esta técnica en el plan de reforestación? [0,75 puntos]