Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

En el espacio tridimensional se consideran los siguientes elementos geométricos:

$A(1,0,2);\pi :-x+2y+z+1=0;r:\{\begin{array}{l}4x-7y+2z=7\\ y-2z+5=0\end{array}$

a) Halle la posición relativa del plano $\pi$ y la recta $r$. [1 punto]

b) Halle el punto simétrico de $A$ con respecto del plano $\pi$. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{relativa}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Para conocer la posición relativa de una recta y un plano basta comparar el vector director de la recta con el vector normal del plano: si su producto escalar no se anula, la recta corta al plano en un único punto. Como $r$ viene dada como intersección de dos planos, su vector director es el producto vectorial de las dos normales.

${\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 4& -7& 2\\ 0& 1& -2\end{array}\mid =(12,8,4)$

Dividiendo entre 4, ${\vec{v}}_r=(3,2,1)$, y del plano ${\vec{n}}_{\pi }=(-1,2,1)$.

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=3\cdot (-1)+2\cdot 2+1\cdot 1=-3+4+1=2\mathrm{\ne }0$

La recta no es perpendicular al vector normal, luego ni es paralela al plano ni está contenida en él: $r$ y $\pi$ son secantes. Calculamos el punto de corte. De la segunda ecuación de $r$ se despeja $y=2z-5$ y, llevándola a la primera, $4x-7(2z-5)+2z=7$, es decir, $4x-12z=-28$ y $x=3z-7$.

$r:\{\begin{array}{l}x=-7+3\lambda \\ y=-5+2\lambda \\ z=\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

$-(-7+3\lambda )+2(-5+2\lambda )+\lambda +1=7-3\lambda -10+4\lambda +\lambda +1=2\lambda -2$

$2\lambda -2=0\Rightarrow \lambda =1$

La recta $r$ y el plano $\pi$ son secantes y se cortan en el punto $(-4,-3,1)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{sim}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{trico}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El procedimiento tiene tres fases.











i) Construimos una recta $s$ que, pasando por $A$, sea perpendicular a $\pi$; su vector director es el normal del plano.

$s:\{\begin{array}{l}x=1-\mu \\ y=2\mu \\ z=2+\mu \end{array}\mu \in \mathbb{R}$

Punto $\to A(1,0,2)$

Vector director $\to {\vec{v}}_s={\vec{n}}_{\pi }=(-1,2,1)$





ii) Calculamos $R$, el pie de la perpendicular, como intersección de $s$ con $\pi$:

$-(1-\mu )+2\cdot 2\mu +(2+\mu )+1=-1+\mu +4\mu +2+\mu +1=6\mu +2$

$6\mu +2=0\Rightarrow \mu =-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

$R({\displaystyle \frac{4}{3}},-{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{5}{3}})$

iii) Basta razonar que $R$ es el punto medio del segmento $\overline{A{A}^{\mathrm{\prime }}}$. Así:

$R=({\displaystyle \frac{1+A_x^{\mathrm{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{0+A_y^{\mathrm{\prime }}}{2}},{\displaystyle \frac{2+A_z^{\mathrm{\prime }}}{2}})$

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{1+A_x^{\mathrm{\prime }}}{2}}\Rightarrow A_x^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{5}{3}}\\ -{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{A_y^{\mathrm{\prime }}}{2}}\Rightarrow A_y^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{4}{3}}\\ {\displaystyle \frac{5}{3}}={\displaystyle \frac{2+A_z^{\mathrm{\prime }}}{2}}\Rightarrow A_z^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}$

El simétrico de $A$ respecto del plano $\pi$ es el punto $A^{\mathrm{\prime }}({\displaystyle \frac{5}{3}},-{\displaystyle \frac{4}{3}},{\displaystyle \frac{4}{3}})$.