Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

En el espacio tridimensional, se considera la recta y el plano siguientes:

$r:\{\begin{array}{l}x+y+z=0\\ 2x-y+z=10\end{array}\pi :x-y+2z-5=0$

a) Compruebe que el plano $\pi$ y la recta $r$ se cortan. Dé la ecuación de la recta $s$, contenida en el plano $\pi$, que corta perpendicularmente a $r$. [1,5 puntos]

b) Halle el ángulo que forman la recta $r$ y el plano $\pi$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cortan.}}\mathbf{\text{D}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{s}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{contenida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{corta}}\mathbf{\text{perpendicularmente}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una recta y un plano se cortan en un punto cuando el vector director de la recta no es perpendicular al vector normal del plano. Como $r$ viene dada como intersección de dos planos, su vector director es el producto vectorial de las dos normales.

${\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 1\\ 2& -1& 1\end{array}\mid =(2,1,-3),{\vec{n}}_{\pi }=(1,-1,2)$

${\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }=2-1-6=-5\mathrm{\ne }0$

Luego $r$ y $\pi$ son secantes. Buscamos su punto de corte escribiendo antes la recta en paramétricas: restando las dos ecuaciones de $r$ se obtiene $x-2y=10$, de donde $x=10+2y$, y de la primera $z=-x-y=-10-3y$.

$r:\{\begin{array}{l}x=10+2\lambda \\ y=\lambda \\ z=-10-3\lambda \end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

$(10+2\lambda )-\lambda +2(-10-3\lambda )-5=-5\lambda -15$

$-5\lambda -15=0\Rightarrow \lambda =-3\Rightarrow I(4,-3,-1)$











La recta $s$ que se pide pasa por $I$, porque debe cortar a $r$ y estar en $\pi$, y su dirección ha de ser a la vez perpendicular a ${\vec{v}}_r$ y perpendicular a ${\vec{n}}_{\pi }$ —esto último es lo que garantiza que $s$ vaya por dentro del plano—. Un vector con las dos condiciones a la vez es el producto vectorial de ambos.

${\vec{v}}_s={\vec{n}}_{\pi }\times {\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 2\\ 2& 1& -3\end{array}\mid =(1,7,3)$





Comprobamos las dos perpendicularidades:

${\vec{v}}_s\cdot {\vec{v}}_r=2+7-9=0,{\vec{v}}_s\cdot {\vec{n}}_{\pi }=1-7+6=0$

$s:\{\begin{array}{l}x=4+\mu \\ y=-3+7\mu \\ z=-1+3\mu \end{array}\mu \in \mathbb{R}$

La recta $r$ corta al plano $\pi$ en el punto $I(4,-3,-1)$, y la recta pedida es la que pasa por ese punto con vector director ${\vec{v}}_s=(1,7,3)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forman}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{recta}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{plano}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El ángulo entre una recta y un plano es el complementario del que forman el vector director de la recta y el vector normal del plano, de modo que lo que se obtiene directamente con el producto escalar es su seno.

$\mathrm{sen}\alpha ={\displaystyle \frac{\mid {\vec{v}}_r\cdot {\vec{n}}_{\pi }\mid }{\mid {\vec{v}}_r\mid \mid {\vec{n}}_{\pi }\mid }}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-5\mathrm{\mid }}{\sqrt{4+1+9}\cdot \sqrt{1+1+4}}}={\displaystyle \frac{5}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{6}}}$

$={\displaystyle \frac{5}{\sqrt{84}}}={\displaystyle \frac{5\sqrt{21}}{42}}\approx \mathrm{0,5455}$

$\alpha =\mathrm{arcsen}(\mathrm{0,5455})\approx {33}^{\circ }{3}^{\mathrm{\prime }}{43}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$

La recta $r$ y el plano $\pi$ forman un ángulo de, aproximadamente, ${33}^{\circ }{4}^{\mathrm{\prime }}$.