Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2025

La temperatura diurna en el Parque Nacional de las Cañadas del Teide durante el mes de agosto sigue una distribución normal. La temperatura media durante el día es de 22 °C con desviación típica de 5 °C. Además, se sabe que las condiciones ideales para realizar senderismo son cuando la temperatura diurna se sitúa entre 18 °C y 25 °C. Si se superan los 30 °C, los excursionistas tendrían un riesgo elevado de insolación. Mientras que, si la temperatura se sitúa por debajo de los 15 °C, existe riesgo de cambios meteorológicos bruscos previstos para ese día.

Se está elaborando una guía informativa para los servicios de emergencia. Responda a lo siguiente:

a) ¿Qué probabilidad hay de que un día de agosto se den las condiciones ideales para realizar senderismo? [0,75 puntos]

b) ¿Cuántos días de agosto se espera que haya senderistas con riesgo de insolación? [0,75 puntos]

c) Si las Cañadas del Teide recibe un promedio de 11 000 visitantes diarios en el mes de agosto y, de ellos, un 5 % realiza senderismo, ¿cuántos senderistas se estima que se puedan ver afectados por cambios meteorológicos bruscos a lo largo de dicho mes? [1 punto]

Llamamos $X$ a la temperatura diurna de un día de agosto en las Cañadas del Teide. Según el enunciado:

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(22,5)$

En los tres apartados se tipifica la variable para poder usar la tabla de la $N(0,1)$, que solo recoge valores positivos de $z$.

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-22}{5}}\sim N(0,1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{agosto}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{den}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{condiciones}}\mathbf{\text{ideales}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{realizar}}\mathbf{\text{senderismo?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Las condiciones ideales corresponden al intervalo comprendido entre 18 °C y 25 °C, así que hay que calcular la probabilidad de esa franja central.

$P(18<X<25)=P({\displaystyle \frac{18-22}{5}}<Z<{\displaystyle \frac{25-22}{5}})=P(-\mathrm{0,8}<Z<\mathrm{0,6})$

$=\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,6})-\mathrm{\Phi }(-\mathrm{0,8})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,6})-[1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,8})]$

$=\mathrm{0,7257}-(1-\mathrm{0,7881})=\mathrm{0,7257}-\mathrm{0,2119}=\mathrm{0,5138}$



La probabilidad de que un día de agosto se den las condiciones ideales para el senderismo es $\mathrm{0,5138}$, es decir, un $\mathrm{51,38}\mathrm{\%}$ de los días.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{agosto}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{espera}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{senderistas}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{riesgo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{insolaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Primero se calcula la probabilidad de que un día cualquiera se superen los 30 °C y después se multiplica por los 31 días que tiene el mes de agosto, que es el número esperado de éxitos de una binomial.

$P(X>30)=1-\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{30-22}{5}}\right)=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,6})=1-\mathrm{0,9452}=\mathrm{0,0548}$



$31\cdot \mathrm{0,0548}=\mathrm{1,6988}$

Se espera que en algo menos de 2 días del mes de agosto —$\mathrm{1,70}$ días de media— los excursionistas tengan riesgo elevado de insolación.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{Ca}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{adas}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Teide}}\mathbf{\text{recibe}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{promedio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{11}}\mathbf{\text{000}}\mathbf{\text{visitantes}}\mathbf{\text{diarios}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{agosto}}\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellos,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{realiza}}\mathbf{\text{senderismo,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{senderistas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{estima}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{puedan}}\mathbf{\text{ver}}\mathbf{\text{afectados}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{cambios}}\mathbf{\text{meteorol}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{gicos}}\mathbf{\text{bruscos}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{largo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{mes?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Ahora la condición es que la temperatura baje de 15 °C. Se calcula esa probabilidad, se cuenta cuántos senderistas hay en todo el mes y se multiplica.

$P(X<15)=\mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{15-22}{5}}\right)=\mathrm{\Phi }(-\mathrm{1,4})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,4})=1-\mathrm{0,9192}=\mathrm{0,0808}$



Senderistas de un día:

$11000\cdot \mathrm{0,05}=550$

Senderistas de todo el mes:

$550\cdot 31=17050$

$17050\cdot \mathrm{0,0808}=\mathrm{1377,64}$

Se estima que a lo largo del mes de agosto unos $1378$ senderistas podrán verse afectados por cambios meteorológicos bruscos.