Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Una empresa tiene tres minas: $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ y $\mathbf{C}$, y en cada una, el mineral extraído contiene los elementos químicos níquel (Ni), cobre (Cu) y hierro (Fe), en diferente concentración. Las concentraciones son:

Mina $\mathbf{A}$: Ni (1 %), Cu (2 %), Fe (3 %).

Mina $\mathbf{B}$: Ni (2 %), Cu (5 %), Fe (7 %).

Mina $\mathbf{C}$: Ni (1 %), Cu (3 %), Fe (1 %).

Para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro en total, ¿cuántas toneladas de mineral se han de extraer de cada mina?

a) Plantee un sistema de ecuaciones que interprete el enunciado. [4 puntos]

b) Clasifique el sistema. [2 puntos]

c) Resuelva el sistema. [4 puntos]

Llamamos $x$, $y$ y $z$ a las toneladas de mineral extraídas de las minas $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ y $\mathbf{C}$ respectivamente.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Plantee}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{interprete}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{enunciado.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Cada elemento químico da una ecuación: la suma de lo que aporta cada mina ha de ser la cantidad total pedida. Las concentraciones se escriben en tanto por uno.

$\{\begin{array}{l}\mathrm{0,01}x+\mathrm{0,02}y+\mathrm{0,01}z=7\\ \mathrm{0,02}x+\mathrm{0,05}y+\mathrm{0,03}z=18\\ \mathrm{0,03}x+\mathrm{0,07}y+\mathrm{0,01}z=16\end{array}$

Multiplicando las tres ecuaciones por 100 desaparecen los decimales:

$\{\begin{array}{l}x+2y+z=700\\ 2x+5y+3z=1800\\ 3x+7y+z=1600\end{array}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Clasifique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius calculando el determinante de la matriz de coeficientes.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 5& 3\\ 3& 7& 1\end{array}\mid =1(5-21)-2(2-9)+1(14-15)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-16+14-1=-3\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible determinado: tiene una única solución.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Resuelva}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Resolvemos por reducción. Despejamos $x$ de la primera ecuación y lo llevamos a las otras dos.

$x=700-2y-z$

$2(700-2y-z)+5y+3z=1800\Rightarrow 1400+y+z=1800\Rightarrow y+z=400$

$3(700-2y-z)+7y+z=1600\Rightarrow 2100+y-2z=1600\Rightarrow y-2z=-500$

Restando la segunda de la primera:

$3z=900\Rightarrow z=300$

$y=400-300=100,x=700-200-300=200$

Comprobamos en la ecuación del hierro:

$\mathrm{0,03}\cdot 200+\mathrm{0,07}\cdot 100+\mathrm{0,01}\cdot 300=6+7+3=16$

Hay que extraer 200 toneladas de mineral de la mina $\mathbf{A}$, 100 de la $\mathbf{B}$ y 300 de la $\mathbf{C}$.