Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

En la fabricación de piensos para peces en granjas acuícolas, es necesario equilibrar la cantidad de proteína, grasa y carbohidratos. Una empresa dedicada a los piensos para peces utiliza tres tipos principales de materias primas, las cuales proporcionan diferentes cantidades de proteína, grasa y carbohidratos. Las materias primas son: subproductos vegetales que contienen un 20 % de proteína, un 10 % de grasa y un 10 % de carbohidratos; harinas que aportan un 40 % de proteínas, un 20 % de grasa y un 30 % de carbohidratos; y subproductos cárnicos que aportan un 60 %, un 10 % y un 30 % respectivamente.

Esta empresa productora está preparando 1000 kg de pienso que han de contener un 36 % de proteína, un 12 % de grasa y un 20 % de carbohidratos. ¿Qué cantidad de cada materia prima se ha de utilizar para obtener el pienso con las características indicadas? [2,5 puntos]

Se trata de un problema de mezclas que se resuelve planteando un sistema de ecuaciones lineales. Llamamos:

$x\equiv$ kilogramos de subproductos vegetales

$y\equiv$ kilogramos de harinas

$z\equiv$ kilogramos de subproductos cárnicos

La primera ecuación recoge que en total se preparan 1000 kg de pienso. Las otras tres dicen que la cantidad de proteína, de grasa y de carbohidratos aportada por las tres materias primas es la que debe llevar el producto final: el $36\mathrm{\%}$, el $12\mathrm{\%}$ y el $20\mathrm{\%}$ de esos 1000 kg, esto es, 360 kg, 120 kg y 200 kg.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=1000\\ \mathrm{0,2}x+\mathrm{0,4}y+\mathrm{0,6}z=360\\ \mathrm{0,1}x+\mathrm{0,2}y+\mathrm{0,1}z=120\\ \mathrm{0,1}x+\mathrm{0,3}y+\mathrm{0,3}z=200\end{array}$

Multiplicando por 10 las tres últimas ecuaciones y dividiendo la de la proteína entre 2, el sistema queda con coeficientes enteros:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=1000\\ x+2y+3z=1800\\ x+2y+z=1200\\ x+3y+3z=2000\end{array}$

Restamos la primera ecuación de la tercera, con lo que se despeja de golpe una de las incógnitas:

$(x+2y+z)-(x+y+z)=1200-1000\Rightarrow y=200$

Restamos ahora la primera de la segunda:

$(x+2y+3z)-(x+y+z)=1800-1000\Rightarrow y+2z=800$

$200+2z=800\Rightarrow z=300$

$x=1000-y-z=1000-200-300=500$

Queda por comprobar que la cuarta ecuación, la de los carbohidratos, también se cumple; si no fuera así el sistema sería incompatible y el pienso pedido no podría fabricarse.

$500+3\cdot 200+3\cdot 300=500+600+900=2000$

Para obtener los 1000 kg de pienso con las características indicadas hay que emplear 500 kg de subproductos vegetales, 200 kg de harinas y 300 kg de subproductos cárnicos.