Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Sea el sistema

$\{\begin{array}{l}mx+y-z=1,\\ 2x+my=1,\\ x+mz=0.\end{array}$

a) Discuta el número de soluciones que tiene el sistema según el parámetro $m$. [7 puntos]

b) Resuelva el sistema para el caso $m=1$. [3 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Discuta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{m}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[7}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius. Empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes, porque mientras no se anule el sistema es compatible determinado.

$A=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& -1\\ 2& m& 0\\ 1& 0& m\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}m& 1& -1& 1\\ 2& m& 0& 1\\ 1& 0& m& 0\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=m(m\cdot m-0)-1(2m-0)+(-1)(0-m)=m^3-2m+m=m^3-m$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow m(m-1)(m+1)=0\Rightarrow m=0,m=1,m=-1$

Si $m\mathrm{\ne }0$, $m\mathrm{\ne }1$ y $m\mathrm{\ne }-1$, entonces

$\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

y el sistema es compatible determinado: tiene solución única.

Si $m=0$:

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 2& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$

La tercera fila es la mitad de la segunda, así que el rango baja. Con la primera y la segunda:

$\mid \begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 0\end{array}\mid =-2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2$

En la ampliada orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 2& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A^{\ast })=3$

Los rangos no coinciden, luego el sistema es incompatible: no tiene solución.

Si $m=1$:

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\mid =1-2=-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 1& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\mid =0\Rightarrow \mathrm{rg}(A^{\ast })=2$

$\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(A^{\ast })=2<3$

El sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones dependientes de un parámetro.

Si $m=-1$:

$\mid \begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -1\end{array}\mid =1-2=-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A)=2$

$\mid \begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 2& -1& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{rg}(A^{\ast })=3$

El sistema es incompatible.

En resumen: el sistema tiene solución única para todo $m$ distinto de $0$, $1$ y $-1$; tiene infinitas soluciones para $m=1$; y no tiene ninguna para $m=0$ y $m=-1$.



Para $m=1$ el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad, de modo que nos quedamos con las dos ecuaciones del menor no nulo y pasamos la tercera incógnita al segundo miembro como parámetro.

$\{\begin{array}{l}x+y-z=1\\ 2x+y=1\\ x+z=0\end{array}$

De la tercera ecuación, $x=-z$. Tomamos $z=\lambda$ como parámetro:

$x=-\lambda$

$2(-\lambda )+y=1\Rightarrow y=1+2\lambda$

Comprobamos en la primera ecuación, que es la que ha quedado libre:

$-\lambda +(1+2\lambda )-\lambda =1$

Se cumple para todo $\lambda$, como corresponde a un sistema compatible indeterminado. Las soluciones son

$(x,y,z)=(-\lambda ,1+2\lambda ,\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$