Examen de Matemáticas II de Islas Baleares 2023 (convocatoria extraordinaria)

Sea el sistema

$\{\begin{array}{l}mx+y-z=1,\\ 2x+my=1,\\ x+mz=0.\end{array}$

a) Discuta el número de soluciones que tiene el sistema según el parámetro $m$. [7 puntos]

b) Resuelva el sistema para el caso $m=1$. [3 puntos]

Sea $A$ una matriz invertible $n\times n$ con coeficientes reales tal que cumple la igualdad $A^2+A=I$. Entonces:

a) ¿Satisface la matriz

$M=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& -1\end{array}\right)$

las condiciones del enunciado? Es decir, ¿cumple $M$ la igualdad del enunciado y, además, es invertible? [3 puntos]

Volviendo a considerar que $A$ es una matriz cualquiera que satisface las condiciones del enunciado:

b) Calcule la inversa de $A$. [3 puntos]

c) Compruebe que se satisface la igualdad $A(B+A)-I=A(B-I)$, siendo $B$ una matriz cuadrada cualquiera $n\times n$ con coeficientes reales. [4 puntos]

Sean los puntos $A=(1,2,0)$, $B=(-1,0,1)$, $C=(0,0,1)$ y $D=(3,1,2)$.

a) Determine la recta $r$ que pasa por $D$ y es perpendicular al plano que contiene los puntos $A$, $B$ y $C$. [4 puntos]

b) Determine si los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ son coplanarios o no. [4 puntos]

c) ¿Es $D$ el punto de corte de la recta $r$ con el plano que contiene los puntos $A$, $B$ y $C$? Justifique la respuesta. [2 puntos]

Sea el plano $\pi :3x+y+z=2$ y los puntos $P=(0,1,1)$ y $Q=(2,-1,-3)$.

a) ¿Son $P$ y $Q$ puntos del plano $\pi$? Justifique la respuesta. [2 puntos]

b) Calcule el punto $S$ situado sobre la recta $PQ$ que se encuentra a 3/4 partes de $P$ y a 1/4 parte de $Q$. [4 puntos]

c) Determine la ecuación implícita (también llamada cartesiana) de la recta que pasa por $P$ y es perpendicular al plano $\pi$. [4 puntos]

La reproducción de un insecto a lo largo del tiempo sigue la función $f(x)=e^{-x}(2x+1)$, siendo $x\ge 0$ el tiempo en meses y $f(x)$ el número de insectos en millones.

a) ¿Cuántos millones de insectos había en el instante inicial? ¿Hacia dónde tiende la cantidad de insectos a lo largo de los años? Interprete los resultados. [4 puntos]

b) ¿Cuál es el número máximo de insectos que llega a haber? ¿En qué instante de tiempo se alcanza ese valor? [4 puntos]

c) ¿Hay algún momento en que la población supere los 2 millones de insectos? Justifique la respuesta. [2 puntos]

Calcule la integral de la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^4+2x-6}{x^2+x-2}}$. [10 puntos]

En una clase en la que todos los alumnos practican algún deporte, el 60 % de los alumnos juega a fútbol o a baloncesto y el 10 % practica los dos. Por otra parte, se sabe que hay un 60 % de alumnos que no juega a fútbol.

a) Sea $F=$ «juega a fútbol» y sea $B=$ «juega a baloncesto». Escriba, en términos de uniones, intersecciones y complementarios de estos dos sucesos, las tres probabilidades que indica el enunciado. [3 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que, escogiendo al azar un alumno de la clase:

b.1) Juegue a fútbol. [1 punto]

b.2) Juegue a baloncesto. [2 puntos]

b.3) Juegue a baloncesto y no a fútbol (es decir, solo juegue a baloncesto). [2 puntos]

b.4) No juegue ni a fútbol ni a baloncesto. [2 puntos]

a) En un examen de tecnología, ¿cuál es la probabilidad de sacar una nota entre 5 y 7 si se sabe que las notas siguen una distribución normal de media 6 y desviación típica 2? [5 puntos]

b) En un examen de filosofía, el 35 % de los alumnos presentados obtuvo una nota mayor que 6, mientras que el 51 % obtuvo una menor que 4. Suponiendo que las notas siguen una distribución normal, determine cuál es su media $\mu$ y su desviación típica $\sigma$. [5 puntos]