Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

En una clase en la que todos los alumnos practican algún deporte, el 60 % de los alumnos juega a fútbol o a baloncesto y el 10 % practica los dos. Por otra parte, se sabe que hay un 60 % de alumnos que no juega a fútbol.

a) Sea $F=$ «juega a fútbol» y sea $B=$ «juega a baloncesto». Escriba, en términos de uniones, intersecciones y complementarios de estos dos sucesos, las tres probabilidades que indica el enunciado. [3 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que, escogiendo al azar un alumno de la clase:

b.1) Juegue a fútbol. [1 punto]

b.2) Juegue a baloncesto. [2 puntos]

b.3) Juegue a baloncesto y no a fútbol (es decir, solo juegue a baloncesto). [2 puntos]

b.4) No juegue ni a fútbol ni a baloncesto. [2 puntos]

Jugar a fútbol o a baloncesto es la unión de los dos sucesos; practicar los dos es su intersección; y no jugar a fútbol es el complementario del primero.

$P(F\cup B)=\mathrm{0,6}$

$P(F\cap B)=\mathrm{0,1}$

$P(F^c)=\mathrm{0,6}$

$\mathbf{\text{b.1)}}\mathbf{\text{Juegue}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{tbol.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El suceso complementario da la probabilidad directamente.

$P(F)=1-P(F^c)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}$

La probabilidad de que un alumno juegue a fútbol es $\mathrm{0,4}$.

$\mathbf{\text{b.2)}}\mathbf{\text{Juegue}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{baloncesto.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Despejamos de la fórmula de la probabilidad de la unión, en la que ya conocemos todo lo demás.

$P(F\cup B)=P(F)+P(B)-P(F\cap B)$

$\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}+P(B)-\mathrm{0,1}$

$P(B)=\mathrm{0,6}-\mathrm{0,4}+\mathrm{0,1}=\mathrm{0,3}$

La probabilidad de que un alumno juegue a baloncesto es $\mathrm{0,3}$.



$\mathbf{\text{b.3)}}\mathbf{\text{Juegue}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{baloncesto}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{tbol}}\mathbf{\text{(es}}\mathbf{\text{decir,}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{juegue}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{baloncesto).}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Al suceso $B$ se le quita la parte que comparte con $F$.

$P(B\cap F^c)=P(B)-P(F\cap B)=\mathrm{0,3}-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,2}$

La probabilidad de que un alumno juegue solo a baloncesto es $\mathrm{0,2}$.

$\mathbf{\text{b.4)}}\mathbf{\text{No}}\mathbf{\text{juegue}}\mathbf{\text{ni}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{tbol}}\mathbf{\text{ni}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{baloncesto.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Por las leyes de De Morgan, no jugar a ninguno de los dos es el complementario de la unión.

$P(F^c\cap B^c)=1-P(F\cup B)=1-\mathrm{0,6}=\mathrm{0,4}$

La probabilidad de que un alumno no juegue ni a fútbol ni a baloncesto es $\mathrm{0,4}$; como todos practican algún deporte, ese $40\mathrm{\%}$ practica otros distintos de esos dos.